Гидростатика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00048055

Что тут происходит. Айсберг — огромная глыба льда, которая плавает в воде. Над водой видна только верхушка объёмом $V$, а весь айсберг в $X$ раз больше. Нужно понять, во сколько раз, — и для этого хватит одного условия плавания.

Дано: $\rho_{\text{л}}=900\ \text{кг/м}^3$ — плотность льда, $\rho_{\text{в}}=1000\ \text{кг/м}^3$ — плотность воды (справочная), $V$ — объём надводной части. Найти: $X=\dfrac{V_{\text{вс}}}{V}$, где $V_{\text{вс}}$ — объём всего айсберга.

Шаг 1 — объёмы частей. Весь айсберг занимает объём $V_{\text{вс}}=XV$. Над водой из него находится $V$, значит под водой — всё остальное: $V_{\text{под}}=XV-V=(X-1)V$.

Шаг 2 — силы. На айсберг действуют сила тяжести вниз и сила Архимеда вверх. Сила тяжести приложена ко всему льду, вместе с верхушкой: $mg=\rho_{\text{л}}XVg$. А выталкивает айсберг только вода, которую вытесняет его подводная часть: $F_{\text{А}}=\rho_{\text{в}}g(X-1)V$.

Шаг 3 — условие плавания. Айсберг плавает, не всплывая и не погружаясь, — его ускорение равно нулю, и по второму закону Ньютона силы уравновешены:

$$\rho_{\text{в}}g(X-1)V=\rho_{\text{л}}gXV.$$

Шаг 4 — решаем. Множители $g$ и $V$ стоят в обеих частях, делим на них — объём верхушки в ответ не войдёт, поэтому его и не дали числом:

$$\rho_{\text{в}}(X-1)=\rho_{\text{л}}X\quad\Rightarrow\quad X(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}})=\rho_{\text{в}}\quad\Rightarrow\quad X=\dfrac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}}}.$$

Шаг 5 — числа: $X=\dfrac{1000}{1000-900}=\dfrac{1000}{100}=10$.

Проверим себя. Под водой находится $(X-1)V=9V$, то есть $\dfrac{9}{10}$ всего айсберга — ровно столько, во сколько раз лёд легче воды ($\dfrac{900}{1000}=0{,}9$). Так и должно быть у плавающего тела. Предельный случай тоже сходится: если бы лёд был так же плотен, как вода, знаменатель обратился бы в ноль — айсберг целиком ушёл бы под воду, и над водой не торчало бы ничего. Заметим ещё, что в океане вода солёная и чуть плотнее ($\approx1030\ \text{кг/м}^3$); тогда верхушка была бы немного больше, но по условию и справочным данным ЕГЭ плотность воды берём $1000\ \text{кг/м}^3$.