Гидростатика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00048151

Что тут происходит. Через неподвижный блок перекинута нить: на одном её конце висит тело, другой конец тянет вверх пружину, а пружина нижним концом прикреплена ко дну сосуда. Сначала сосуд пустой, потом его заливают жидкостью так, что всё оказывается под водой. Нужно понять, как от этого изменится длина пружины.

Шаг 1 — в каком состоянии пружина. Нижний конец пружины закреплён, а верхний нить тянет вверх, поэтому пружина растянута. По закону Гука её удлинение $x$ определяется силой, с которой её тянут: $kx=T$, где $T$ — сила натяжения нити.

Шаг 2 — натяжение одинаково по обе стороны блока. Нить лёгкая и нерастяжимая, трения в оси блока нет, поэтому блок только меняет направление нити, а сила натяжения на обоих её концах одна и та же. Значит, пружину тянут с той же силой $T$, с какой нить держит тело.

Шаг 3 — равновесие тела в пустом сосуде. На тело действуют сила тяжести $mg$ вниз и сила натяжения $T_1$ вверх (выталкивающей силой воздуха пренебрегаем). Тело покоится, поэтому по второму закону Ньютона с нулевым ускорением

$$T_1=mg.$$

Шаг 4 — равновесие тела в жидкости. Система погружена целиком, значит тело находится в жидкости всем своим объёмом $V$, и на него добавляется сила Архимеда $F_{\text{А}}=\rho gV$, направленная вверх. Теперь нить держит тело вместе с жидкостью:

$$T_2+\rho gV=mg\quad\Rightarrow\quad T_2=mg-\rho gV.$$

Выталкивающая сила на саму пружину и нить в задаче не учитывается: тело в условии задано объёмом $V$, а пружина и нить считаются тонкими.

Шаг 5 — от силы к длине. Длина пружины равна её длине без нагрузки плюс удлинение. Длина без нагрузки не меняется, поэтому изменение длины равно изменению удлинения:

$$\Delta x=x_2-x_1=\dfrac{T_2-T_1}{k}=\dfrac{(mg-\rho gV)-mg}{k}=-\dfrac{\rho Vg}{k}.$$

Знак минус означает, что удлинение уменьшилось: в жидкости тело «легчает», нить тянет пружину слабее, и пружина укорачивается на $\dfrac{\rho Vg}{k}$. Масса тела в ответ не вошла — важен только объём тела и плотность жидкости.

Проверим себя. Формула работает, пока нить натянута, то есть пока $T_2=mg-\rho gV\gt 0$ — тело должно быть тяжелее вытесненной им жидкости (на рисунке оно висит на нити, а не всплывает). Если бы тело было легче жидкости, нить провисла бы и пружина просто вернулась бы к своей длине без нагрузки. Размерность тоже сходится: $\dfrac{\rho Vg}{k}$ — это сила, делённая на жёсткость, то есть длина.