Гидростатика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00048154

Что тут происходит. Деревянный шар скатился в неглубокую ямку с водой и лёг на её дно: снизу он наполовину в воде, сверху — в воздухе. Воды мало, поэтому шар не плавает, а опирается на дно и давит на него с силой $F$. Нужно найти плотность дерева.

Дано: $m=454\ \text{г}=0{,}454\ \text{кг}$, $F=1{,}66\ \text{Н}$, погружена половина шара, $\rho_0=1000\ \text{кг/м}^3$ — плотность воды (табличная), $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $\rho$ — плотность дерева.

Шаг 1 — рисунок и силы. На шар действуют три силы: сила тяжести $m\vec g$ вниз (приложена в центре шара), сила Архимеда $\vec F_{\text{А}}$ вверх (со стороны воды на погружённую половину) и сила нормальной реакции дна $\vec N$ вверх (в точке касания с дном).

Шаг 2 — третий закон Ньютона. В условии дана сила $F$, с которой шар давит на дно, — она приложена к дну, а не к шару. Дно действует на шар силой реакции $N$, и по третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю: $N=F=1{,}66\ \text{Н}$.

Шаг 3 — второй закон Ньютона для шара. Шар покоится, ускорение равно нулю, поэтому сумма сил равна нулю. В проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$$N+F_{\text{А}}-mg=0\quad\Rightarrow\quad F_{\text{А}}=mg-F.$$

Считаем по частям: $mg=0{,}454\cdot10=4{,}54\ \text{Н}$, тогда $F_{\text{А}}=4{,}54-1{,}66=2{,}88\ \text{Н}$.

Шаг 4 — сила Архимеда и объём шара. Выталкивающая сила равна весу воды в объёме погружённой части. В воде половина шара, то есть объём $\dfrac{V}{2}$:

$$F_{\text{А}}=\rho_0 g\dfrac{V}{2}\quad\Rightarrow\quad V=\dfrac{2F_{\text{А}}}{\rho_0 g}=\dfrac{2\cdot2{,}88}{1000\cdot10}=5{,}76\cdot10^{-4}\ \text{м}^3.$$

Шаг 5 — плотность дерева. Шар однородный, поэтому его плотность — это масса, делённая на объём:

$$\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{0{,}454}{5{,}76\cdot10^{-4}}\approx788\ \text{кг/м}^3.$$

Тот же результат одной формулой: $\rho=\dfrac{\rho_0 mg}{2(mg-F)}=\dfrac{1000\cdot4{,}54}{2\cdot2{,}88}\approx788\ \text{кг/м}^3$.

Проверим себя. Дерево легче воды ($788\lt1000$), так что в глубокой воде шар плавал бы — и погрузился бы в неё на долю $\dfrac{788}{1000}\approx0{,}79$ объёма, то есть больше чем наполовину. А здесь в воде только половина шара — выталкивающей силы не хватает, и недостающее добавляет дно. Именно поэтому шар на дно и давит. Всё сходится.