МКТ — Задание 23 ЕГЭ по физике №00048492

Что тут происходит. Воздух в сосуде остыл, и давление в нём упало. Но кран был закрыт неплотно, поэтому часть молекул могла уйти наружу или, наоборот, зайти внутрь. Значит, число молекул в сосуде по ходу опыта могло измениться, и законы для газа неизменной массы (например, закон Шарля) тут сами по себе не годятся. Нужно уравнение состояния, в котором число молекул стоит явно.

Дано: состояние 1: $p_1=6\cdot10^5$ Па, $V_1=0{,}4\ \text{м}^3$; состояние 2: $p_2=2\cdot10^5$ Па, $V_2=0{,}4\ \text{м}^3$ (с графика); $\dfrac{T_1}{T_2}=1{,}5$. Найти: $\dfrac{N_2}{N_1}$.

Шаг 1 — какое уравнение. Давление идеального газа связано с концентрацией молекул: $p=nkT$, где $n=\dfrac{N}{V}$ — число молекул в одном кубометре, $k$ — постоянная Больцмана. Воздух — смесь азота, кислорода и других газов, но это не мешает: по закону Дальтона давление смеси складывается из давлений всех её газов, поэтому в $p=nkT$ под $n$ можно понимать концентрацию всех молекул воздуха сразу. Умножим обе части на объём и выразим число молекул:

$$pV=NkT\quad\Rightarrow\quad N=\dfrac{pV}{kT}.$$

Шаг 2 — снимаем данные с графика. Обе точки стоят над одной и той же отметкой оси объёма, $V=0{,}4\ \text{м}^3$: отрезок 1–2 вертикальный, объём сосуда не менялся. Давление в точке 1 равно $6\cdot10^5$ Па, в точке 2 — $2\cdot10^5$ Па (у оси давления стоит множитель $10^5$ Па).

Шаг 3 — составляем отношение. Самих температур в условии нет, сказано только, что абсолютная температура понизилась в $1{,}5$ раза, то есть $T_1=1{,}5\,T_2$. Поэтому найти $N_1$ и $N_2$ по отдельности нельзя, зато можно найти их отношение. Запишем число молекул для обоих состояний и разделим второе на первое. Объём в обоих состояниях один и тот же, постоянная Больцмана — тоже, поэтому в отношении остаются только давления и температуры:

$$\dfrac{N_2}{N_1}=\dfrac{p_2V}{kT_2}:\dfrac{p_1V}{kT_1}=\dfrac{p_2}{p_1}\cdot\dfrac{T_1}{T_2}.$$

Подставляем давления с графика и отношение температур из условия:

$$\dfrac{N_2}{N_1}=\dfrac{2\cdot10^5}{6\cdot10^5}\cdot1{,}5=\dfrac13\cdot1{,}5=0{,}5.$$

Число молекул в сосуде уменьшилось вдвое: половина воздуха вышла через кран.

Проверим себя. Первое — без утечки. Если бы кран держал плотно, при охлаждении в $1{,}5$ раза давление упало бы тоже в $1{,}5$ раза — с $6\cdot10^5$ Па до $4\cdot10^5$ Па. А оно упало до $2\cdot10^5$ Па, ещё вдвое. При тех же объёме и температуре давление пропорционально числу молекул, значит, их осталась половина — сходится.

Второе — по смыслу. Часть спада давления дало охлаждение, а не утечка, поэтому отношение чисел молекул $0{,}5$ должно быть больше отношения давлений $\dfrac{p_2}{p_1}=\dfrac13$ — так и есть. Если бы отношение температур попало в расчёт перевёрнутым, вышло бы $\dfrac13:1{,}5\approx0{,}22$ — меньше $\dfrac13$, и это сразу видно.

Третье — направление утечки. Снаружи сосуда обычный воздух при атмосферном давлении, около $10^5$ Па. В сосуде давление и в начале ($6\cdot10^5$ Па), и в конце ($2\cdot10^5$ Па) выше атмосферного, поэтому через неплотный кран воздух мог только выходить наружу. Молекул должно было стать меньше: $\dfrac{N_2}{N_1}\lt1$ — так и вышло.