Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00048455

Что здесь происходит. Каждая молекула водорода — частица с массой $m_0$, и у неё есть длина волны де Бройля $\lambda=\dfrac{h}{m_0v}$. Скорость берём среднеквадратичную. Её можно найти без температуры: основное уравнение МКТ связывает давление газа с его плотностью и средним квадратом скорости молекул, а плотность даёт масса газа и объём сосуда.

Дано: $V=5$ л $=5\cdot10^{-3}\ \text{м}^3$, $m=2{,}5$ г $=2{,}5\cdot10^{-3}$ кг, $p=2$ атм $=2\cdot1{,}013\cdot10^5\approx2{,}03\cdot10^5$ Па; молярная масса молекулярного водорода $\mu=2\cdot10^{-3}$ кг/моль, $N_A=6{,}02\cdot10^{23}\ \text{моль}^{-1}$, $h=6{,}63\cdot10^{-34}$ Дж$\cdot$с. Найти: $\lambda$.

Шаг 1 — плотность газа: $\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{2{,}5\cdot10^{-3}}{5\cdot10^{-3}}=0{,}5\ \text{кг/м}^3$.

Шаг 2 — среднеквадратичная скорость. Основное уравнение МКТ: $p=\dfrac{1}{3}\rho v_{\text{кв}}^2$, откуда

$$v_{\text{кв}}=\sqrt{\dfrac{3p}{\rho}}=\sqrt{\dfrac{3\cdot2{,}03\cdot10^5}{0{,}5}}\approx1{,}10\cdot10^3\ \text{м/с}.$$

Шаг 3 — масса одной молекулы. Водород молекулярный, $\text{H}_2$, поэтому

$$m_0=\dfrac{\mu}{N_A}=\dfrac{2\cdot10^{-3}}{6{,}02\cdot10^{23}}\approx3{,}32\cdot10^{-27}\ \text{кг}.$$

Шаг 4 — длина волны де Бройля одной молекулы (берём модуль её импульса):

$$\lambda=\dfrac{h}{m_0v_{\text{кв}}}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{3{,}32\cdot10^{-27}\cdot1{,}10\cdot10^3}\approx1{,}8\cdot10^{-10}\ \text{м}=0{,}18\ \text{нм}.$$

Если принять $1$ атм $\approx10^5$ Па, получится $v_{\text{кв}}\approx1{,}095\cdot10^3$ м/с и тот же ответ $\approx1{,}8\cdot10^{-10}$ м.

Проверим себя. Среднее расстояние между молекулами: концентрация $n=\dfrac{m}{m_0V}\approx\dfrac{2{,}5\cdot10^{-3}}{3{,}32\cdot10^{-27}\cdot5\cdot10^{-3}}\approx1{,}5\cdot10^{26}\ \text{м}^{-3}$, расстояние $n^{-1/3}\approx1{,}9\cdot10^{-9}$ м — в десять раз больше длины волны. Значит, волновые свойства молекул в этом газе не проявляются, и классическая модель МКТ, которой мы пользовались, законна.

Почему модель законна. Водород при таком давлении считаем идеальным газом; молекулы движутся хаотически, импульс одной молекулы по модулю равен $m_0v$; скорости много меньше скорости света.