Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00048451

Что здесь происходит. Покоящийся атом распадается на два «осколка»: $\alpha$-частицу и ион нового элемента. По радиусу дуги, которую ион описывает в магнитном поле, можно найти его импульс. Импульс $\alpha$-частицы такой же по модулю — суммарный импульс был нулевым. Зная импульсы и массы, найдём кинетические энергии обоих продуктов и сложим.

Дано: $B=5$ Тл, $M=50$ а.е.м., $R=5$ см $=0{,}05$ м; масса $\alpha$-частицы $m_\alpha=4$ а.е.м.; $1$ а.е.м. $=1{,}66\cdot10^{-27}$ кг, $e=1{,}6\cdot10^{-19}$ Кл. Найти: $\Delta E$.

Шаг 1 — заряд иона. Атом был нейтральным: заряд его ядра $+Ze$ уравновешен $Z$ электронами оболочки. $\alpha$-частица уносит из ядра заряд $+2e$, а все $Z$ электронов остаются при новом ядре с зарядом $(Z-2)e$. По закону сохранения заряда ион заряжен отрицательно, его заряд по модулю $q=2e$.

Шаг 2 — импульс иона. Траектория лежит в плоскости, перпендикулярной полю, значит, скорость иона перпендикулярна $\vec B$, и сила Лоренца $qvB$ сообщает ему центростремительное ускорение:

$$qvB=\dfrac{Mv^2}{R}\quad\Rightarrow\quad p=Mv=qBR=2eBR=2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5\cdot0{,}05=8\cdot10^{-20}\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.$$

Шаг 3 — импульс $\alpha$-частицы. До распада атом покоился, суммарный импульс равен нулю; сразу после распада продукты разлетаются в противоположные стороны с равными по модулю импульсами $p$ (магнитная сила модуль импульса не меняет).

Шаг 4 — энергия. Кинетическую энергию удобно выразить через импульс: $E_{\text{к}}=\dfrac{p^2}{2m}$. Тогда

$$\Delta E=\dfrac{p^2}{2M}+\dfrac{p^2}{2m_\alpha}=\dfrac{p^2}{2}\left(\dfrac{1}{M}+\dfrac{1}{m_\alpha}\right).$$

Массы в килограммах: $M=50\cdot1{,}66\cdot10^{-27}=8{,}3\cdot10^{-26}$ кг, $m_\alpha=4\cdot1{,}66\cdot10^{-27}=6{,}64\cdot10^{-27}$ кг. Считаем:

$$\Delta E=\dfrac{(8\cdot10^{-20})^2}{2}\left(\dfrac{1}{8{,}3\cdot10^{-26}}+\dfrac{1}{6{,}64\cdot10^{-27}}\right)=3{,}2\cdot10^{-39}\cdot1{,}627\cdot10^{26}\approx5{,}2\cdot10^{-13}\ \text{Дж}.$$

В мегаэлектронвольтах: $\dfrac{5{,}2\cdot10^{-13}}{1{,}6\cdot10^{-13}}\approx3{,}3$ МэВ.

Проверим себя. При равных импульсах энергия обратно пропорциональна массе: $\alpha$-частица получает в $\dfrac{50}{4}=12{,}5$ раза больше энергии, чем ион, — около $4{,}8\cdot10^{-13}$ Дж против $0{,}39\cdot10^{-13}$ Дж; в сумме $5{,}2\cdot10^{-13}$ Дж. Единицы: $\dfrac{(\text{кг}\cdot\text{м/с})^2}{\text{кг}}=\text{Дж}$.

Почему модель законна. До распада атом покоился, поэтому сумма импульсов продуктов равна нулю; за время распада внешнее поле импульс системы не меняет; вся выделившаяся энергия переходит в кинетическую энергию продуктов (по условию); электронная оболочка остаётся у нового ядра, массой электронов пренебрегаем; скорости нерелятивистские.