Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00048449

Что здесь происходит. Указка висит в пустоте, ей не от чего оттолкнуться. И всё же она разгоняется: свет уносит импульс, и по закону сохранения импульса указка получает такой же импульс в противоположную сторону — как ружьё при выстреле, только «пули» — фотоны. Найдём импульс всего света, излучённого за $10$ минут.

Дано: $P=10$ Вт, $\lambda=445$ нм, $m=160$ г $=0{,}16$ кг, $t=10$ мин $=600$ с; $c=3\cdot10^8$ м/с. Найти: $V$.

Шаг 1 — импульс одного фотона. Фотон с энергией $\varepsilon=\dfrac{hc}{\lambda}$ несёт импульс $p_1=\dfrac{h}{\lambda}=\dfrac{\varepsilon}{c}$ — импульс света равен его энергии, делённой на скорость света.

Шаг 2 — импульс всего излучения. За время $t$ указка излучает энергию $W=Pt=10\cdot600=6000$ Дж. Лазерный пучок узкий и направленный, все фотоны летят в одну сторону, поэтому их импульсы складываются как числа:

$$p_{\text{св}}=\dfrac{W}{c}=\dfrac{Pt}{c}=\dfrac{6000}{3\cdot10^8}=2\cdot10^{-5}\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.$$

Длина волны сократилась: число фотонов $N=\dfrac{Pt\lambda}{hc}$, каждый несёт $\dfrac{h}{\lambda}$, произведение от $\lambda$ не зависит. Синий цвет на ответ не влияет.

Шаг 3 — закон сохранения импульса. Сначала импульс системы «указка + свет» был нулевым, внешних сил нет (невесомость, вдали от других тел). Значит, указка получает импульс той же величины:

$$mV=\dfrac{Pt}{c}\quad\Rightarrow\quad V=\dfrac{Pt}{mc}=\dfrac{2\cdot10^{-5}}{0{,}16}=1{,}25\cdot10^{-4}\ \text{м/с}=0{,}125\ \text{мм/с}.$$

Ограничение «до двух часов» лишь говорит, что $10$ минут работы аккумуляторы обеспечат; в расчёт это время не входит.

Проверим себя. Размерность: $\dfrac{\text{Вт}\cdot\text{с}}{\text{кг}\cdot\text{м/с}}=\dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{м/с}}=\text{м/с}$. Масса указки при излучении меняется ничтожно: энергии $6000$ Дж соответствует масса $\dfrac{W}{c^2}\approx6{,}7\cdot10^{-14}$ кг — по сравнению со $160$ г это ничто.

Почему модель законна. Система «указка + излучение» замкнута (вакуум, невесомость, других тел нет); весь свет уходит в одном направлении; мощность излучения постоянна; изменением массы указки пренебрегаем.