Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00048454

Что здесь происходит. Обе частицы разгоняются одним и тем же напряжением. Заряды у них равны по модулю, поэтому поле сообщает им одинаковую кинетическую энергию. А длина волны де Бройля определяется импульсом, и при одинаковой энергии импульс у тяжёлой частицы гораздо больше. Сравним импульсы — и получим отношение длин волн.

Дано: одинаковая разность потенциалов $U$; $|q_e|=q_p=e$; $m_e=9{,}1\cdot10^{-31}$ кг, $m_p=1{,}67\cdot10^{-27}$ кг; начальные энергии пренебрежимо малы. Найти: $\dfrac{\lambda_e}{\lambda_p}$.

Шаг 1 — энергия. Работа поля над частицей равна $|q|U=eU$ для обеих частиц (электрон и протон разгоняют полями противоположного направления, но модуль работы одинаков). Значит, $E_{\text{к}}=eU$ у обеих.

Шаг 2 — импульс через энергию. Из $E_{\text{к}}=\dfrac{p^2}{2m}$:

$$p=\sqrt{2mE_{\text{к}}}=\sqrt{2meU}.$$

Шаг 3 — длины волн де Бройля $\lambda=\dfrac{h}{p}$. Берём отношение, при этом $h$, $e$ и $U$ сокращаются:

$$\dfrac{\lambda_e}{\lambda_p}=\dfrac{p_p}{p_e}=\sqrt{\dfrac{m_p}{m_e}}=\sqrt{\dfrac{1{,}67\cdot10^{-27}}{9{,}1\cdot10^{-31}}}=\sqrt{1835}\approx42{,}8\approx43.$$

Длина волны электрона примерно в $43$ раза больше, чем у протона.

Проверим себя. Лёгкая частица при той же энергии движется быстрее, но её импульс $mv=\sqrt{2mE}$ всё равно меньше — поэтому её волна длиннее, как и получилось. Если бы частицы имели одинаковые скорости, отношение длин волн было бы равно отношению масс ($1835$), а не корню из него, — поэтому важно, что одинакова именно энергия.

Почему модель законна. Начальная кинетическая энергия частиц пренебрежимо мала, и вся работа поля идёт в кинетическую энергию; скорости нерелятивистские, поэтому $E_{\text{к}}=\dfrac{p^2}{2m}$; заряды электрона и протона равны по модулю.