Волновая Оптика… — Задание ЕГЭ по физике №00048448

Что здесь происходит. Пучок электронов дифрагирует на листе графена так же, как свет на дифракционной решётке: у каждого электрона есть длина волны де Бройля, а ряды атомов листа, отстоящие друг от друга на $a_0$, играют роль штрихов решётки. Нужен максимум второго порядка — направление, в котором волны от соседних рядов отстают друг от друга ровно на две длины волны.

Дано: $U=2$ кВ $=2\cdot10^3$ В, $a_0=0{,}246$ нм $=2{,}46\cdot10^{-10}$ м, порядок $k=2$; $m=9{,}1\cdot10^{-31}$ кг, $e=1{,}6\cdot10^{-19}$ Кл, $h=6{,}63\cdot10^{-34}$ Дж$\cdot$с. Найти: $\varphi_2$.

Шаг 1 — импульс. Разгоняясь, электрон получает от поля энергию $eU$; начальной скоростью пренебрегаем. Так как $E_{\text{к}}=\dfrac{p^2}{2m}$:

$$p=\sqrt{2meU}=\sqrt{2\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2\cdot10^3}\approx2{,}41\cdot10^{-23}\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.$$

Энергия $2$ кэВ много меньше энергии покоя электрона ($\approx511$ кэВ), так что нерелятивистская формула годится.

Шаг 2 — длина волны де Бройля:

$$\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{2{,}41\cdot10^{-23}}\approx2{,}75\cdot10^{-11}\ \text{м}=0{,}0275\ \text{нм}.$$

Шаг 3 — максимум второго порядка. При нормальном падении разность хода волн от соседних рядов атомов под углом $\varphi$ к пучку равна $a_0\sin\varphi$. Для второго порядка она равна двум длинам волн:

$$a_0\sin\varphi_2=2\lambda\quad\Rightarrow\quad\sin\varphi_2=\dfrac{2\lambda}{a_0}=\dfrac{2\cdot0{,}0275}{0{,}246}\approx0{,}223.$$

Значит, $\varphi_2=\arcsin0{,}223\approx12{,}9^\circ$, около $13^\circ$.

Обрати внимание: удваивается синус, а не сам угол. Здесь углы малы, и разница невелика, но для больших углов «$\varphi_2=2\varphi_1$» дало бы заметную ошибку.

Проверим себя. Обратный счёт: $0{,}246\cdot\sin12{,}9^\circ\approx0{,}246\cdot0{,}223\approx0{,}055$ нм $=2\cdot0{,}0275$ нм. И ещё: всего порядков, для которых $\sin\varphi\le1$, получается $\dfrac{a_0}{\lambda}=\dfrac{0{,}246}{0{,}0275}\approx8{,}9$, то есть до восьмого включительно, — второй порядок заведомо существует.

Почему модель законна. Электроны разгоняются из покоя и вся работа поля переходит в их кинетическую энергию; скорость много меньше скорости света; лист графена — плоская решётка с периодом $a_0$, пучок падает перпендикулярно листу; кристалл двумерный, поэтому условия для следующих слоёв атомов нет.