Задание ЕГЭ по физике: На дифракционную решётку, имеющую 500 штрихов на 1 см, падает по…

Сюжет такой: белый свет проходит сквозь дифракционную решётку, она раскладывает его в спектры, а стоящая вплотную линза собирает каждый параллельный пучок в свою точку на экране. Экран стоит в фокальной плоскости линзы, поэтому искомое расстояние от линзы до экрана — это просто фокусное расстояние F, и задача сводится к тому, чтобы связать его с шириной спектра.

Шаг 1 — период решётки. «500 штрихов на 1 см» означает, что на длину 1 см приходится 500 штрихов, и на один штрих с промежутком приходится d=\dfrac{1\ \text{см}}{500}=\dfrac{10^{-2}}{500}=2\cdot10^{-5} м. Это и есть период решётки — расстояние между соседними щелями.

Шаг 2 — куда решётка отклоняет свет. Условие главных максимумов дифракционной решётки: d\sin\varphi=k\lambda, где k — порядок максимума. Отсюда для второго порядка \sin\varphi=\dfrac{2\lambda}{d}. Важно, что угол зависит от длины волны: красный свет отклоняется сильнее фиолетового, поэтому белый луч и разъезжается в цветную полоску — спектр.

Шаг 3 — где эта полоска окажется на экране. Все лучи, вышедшие из решётки под одним углом \varphi, линза сводит в одну точку своей фокальной плоскости, отстоящую от оси на x=F\,\mathrm{tg}\,\varphi. Углы малы, и условие разрешает считать \sin\varphi\approx\mathrm{tg}\,\varphi\approx\varphi, поэтому x=F\cdot\dfrac{2\lambda}{d}.

Шаг 4 — ширина спектра. Спектр второго порядка тянется от фиолетовой границы до красной, значит его ширина — разность двух таких координат: \Delta x=\frac{2F\lambda_{кр}}{d}-\frac{2F\lambda_{ф}}{d}=\frac{2F\left(\lambda_{кр}-\lambda_{ф}\right)}{d}.

Шаг 5 — считаем. Выразим фокусное расстояние: F=\dfrac{\Delta x\cdot d}{2\left(\lambda_{кр}-\lambda_{ф}\right)}. Подставляем \Delta x=8\ \text{см}=0{,}08 м, d=2\cdot10^{-5} м, \lambda_{кр}-\lambda_{ф}=8\cdot10^{-7}-4\cdot10^{-7}=4\cdot10^{-7} м:

F=\frac{0{,}08\cdot2\cdot10^{-5}}{2\cdot4\cdot10^{-7}}=\frac{1{,}6\cdot10^{-6}}{8\cdot10^{-7}}=2\ \text{м}.

Прикинем правдоподобность: угол для красной границы второго порядка \varphi=\dfrac{2\cdot8\cdot10^{-7}}{2\cdot10^{-5}}=0{,}08 рад — это меньше 5^{\circ}, так что приближение малых углов законно, и красная граница уходит от центра на 2\cdot0{,}08=0{,}16 м, а фиолетовая — на 0{,}08 м. Разница ровно 8 см.

Почему модель именно такая. Используются два положения. Первое — условие главных максимумов дифракционной решётки d\sin\varphi=k\lambda: оно применимо, потому что на решётку падает плоская волна по нормали, и разность хода между соседними щелями равна d\sin\varphi. Второе — свойство собирающей линзы: параллельный пучок, идущий под углом \varphi к главной оптической оси, собирается в точку задней фокальной плоскости на расстоянии F\,\mathrm{tg}\,\varphi от оси. Именно поэтому картина на экране не «размазана»: линза сортирует лучи по направлениям, а не по точкам выхода из решётки.