ID: 00026549
На дифракционную решётку, имеющую 500 штрихов на 1 см, падает по нормали параллельный пучок белого света. Между решёткой и экраном вплотную к решётке расположена линза, которая фокусирует свет, проходящий через решётку, на экране. Чему равно расстояние от линзы до экрана, если ширина спектра второго порядка на экране равна 8 см? Длины красной и фиолетовой световых волн соответственно равны 8∙10^{–7} м и 4∙10^{–7} м. Считать угол φ отклонения лучей решёткой малым, так что sinφ $\approx$ tgφ $\approx$ φ .
Источник: ФИПИ
Сюжет такой: белый свет проходит сквозь дифракционную решётку, она раскладывает его в спектры, а стоящая вплотную линза собирает каждый параллельный пучок в свою точку на экране. Экран стоит в фокальной плоскости линзы, поэтому искомое расстояние от линзы до экрана — это просто фокусное расстояние $F$, и задача сводится к тому, чтобы связать его с шириной спектра.
Шаг 1 — период решётки. «500 штрихов на 1 см» означает, что на длину $1$ см приходится 500 штрихов, и на один штрих с промежутком приходится $d=\dfrac{1\ \text{см}}{500}=\dfrac{10^{-2}}{500}=2\cdot10^{-5}$ м. Это и есть период решётки — расстояние между соседними щелями.
Шаг 2 — куда решётка отклоняет свет. Условие главных максимумов дифракционной решётки: $d\sin\varphi=k\lambda$, где $k$ — порядок максимума. Отсюда для второго порядка $\sin\varphi=\dfrac{2\lambda}{d}$. Важно, что угол зависит от длины волны: красный свет отклоняется сильнее фиолетового, поэтому белый луч и разъезжается в цветную полоску — спектр.
Шаг 3 — где эта полоска окажется на экране. Все лучи, вышедшие из решётки под одним углом $\varphi$, линза сводит в одну точку своей фокальной плоскости, отстоящую от оси на $x=F\,\mathrm{tg}\,\varphi$. Углы малы, и условие разрешает считать $\sin\varphi\approx\mathrm{tg}\,\varphi\approx\varphi$, поэтому $x=F\cdot\dfrac{2\lambda}{d}$.
Шаг 4 — ширина спектра. Спектр второго порядка тянется от фиолетовой границы до красной, значит его ширина — разность двух таких координат: $$\Delta x=\frac{2F\lambda_{кр}}{d}-\frac{2F\lambda_{ф}}{d}=\frac{2F\left(\lambda_{кр}-\lambda_{ф}\right)}{d}.$$
Шаг 5 — считаем. Выразим фокусное расстояние: $F=\dfrac{\Delta x\cdot d}{2\left(\lambda_{кр}-\lambda_{ф}\right)}$. Подставляем $\Delta x=8\ \text{см}=0{,}08$ м, $d=2\cdot10^{-5}$ м, $\lambda_{кр}-\lambda_{ф}=8\cdot10^{-7}-4\cdot10^{-7}=4\cdot10^{-7}$ м:
$$F=\frac{0{,}08\cdot2\cdot10^{-5}}{2\cdot4\cdot10^{-7}}=\frac{1{,}6\cdot10^{-6}}{8\cdot10^{-7}}=2\ \text{м}.$$
Прикинем правдоподобность: угол для красной границы второго порядка $\varphi=\dfrac{2\cdot8\cdot10^{-7}}{2\cdot10^{-5}}=0{,}08$ рад — это меньше $5^{\circ}$, так что приближение малых углов законно, и красная граница уходит от центра на $2\cdot0{,}08=0{,}16$ м, а фиолетовая — на $0{,}08$ м. Разница ровно $8$ см.
Почему модель именно такая. Используются два положения. Первое — условие главных максимумов дифракционной решётки $d\sin\varphi=k\lambda$: оно применимо, потому что на решётку падает плоская волна по нормали, и разность хода между соседними щелями равна $d\sin\varphi$. Второе — свойство собирающей линзы: параллельный пучок, идущий под углом $\varphi$ к главной оптической оси, собирается в точку задней фокальной плоскости на расстоянии $F\,\mathrm{tg}\,\varphi$ от оси. Именно поэтому картина на экране не «размазана»: линза сортирует лучи по направлениям, а не по точкам выхода из решётки.