Волновая Оптика… — Задание ЕГЭ по физике №00048325

Что здесь происходит. Электрон, разогнанный напряжением, ведёт себя как волна — у него есть длина волны де Бройля $\lambda=\dfrac{h}{p}$. Атомы графена стоят в листе правильными рядами с шагом $a_0$, поэтому для электронной волны лист работает как дифракционная решётка. План: по ускоряющему напряжению найти импульс электрона, по импульсу — длину волны, а дальше применить условие главного максимума решётки.

Дано: $U=1$ кВ $=10^3$ В, $a_0=0{,}246$ нм $=2{,}46\cdot10^{-10}$ м, порядок максимума $k=1$; масса электрона $m=9{,}1\cdot10^{-31}$ кг, заряд $e=1{,}6\cdot10^{-19}$ Кл, постоянная Планка $h=6{,}63\cdot10^{-34}$ Дж$\cdot$с. Найти: $\varphi_1$.

Шаг 1 — импульс электрона. Поле совершает над электроном работу $eU$, и вся она переходит в его кинетическую энергию (начальной скоростью электронов пренебрегаем). Кинетическую энергию удобно записать через импульс:

$$\dfrac{p^2}{2m}=eU\quad\Rightarrow\quad p=\sqrt{2meU}=\sqrt{2\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot10^3}\approx1{,}71\cdot10^{-23}\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.$$

Нерелятивистская формула здесь законна: энергия $1$ кэВ примерно в $500$ раз меньше энергии покоя электрона $mc^2\approx511$ кэВ.

Шаг 2 — длина волны де Бройля:

$$\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{1{,}71\cdot10^{-23}}\approx3{,}88\cdot10^{-11}\ \text{м}=0{,}0388\ \text{нм}.$$

Шаг 3 — условие максимума. Пучок падает перпендикулярно листу, поэтому до листа все волны идут в одной фазе. Волны, рассеянные соседними рядами атомов (расстояние между ними $a_0$), под углом $\varphi$ к исходному направлению приобретают разность хода $a_0\sin\varphi$. Максимум первого порядка — когда эта разность хода равна одной длине волны:

$$a_0\sin\varphi_1=\lambda\quad\Rightarrow\quad\sin\varphi_1=\dfrac{\lambda}{a_0}=\dfrac{0{,}0388}{0{,}246}\approx0{,}158.$$

Отсюда $\varphi_1=\arcsin0{,}158\approx9{,}1^\circ$, то есть около $9^\circ$ к исходному пучку.

Почему хватает одного условия. Кристалл двумерный: под первым слоем атомов нет следующих, поэтому дополнительного условия на отражение от параллельных слоёв (как в объёмном кристалле) нет — работает обычная формула плоской решётки с периодом $a_0$.

Проверим себя обратным счётом: $a_0\sin9{,}1^\circ\approx0{,}246\cdot0{,}158\approx0{,}039$ нм — это и есть длина волны электрона. И ещё: максимум первого порядка существует, только если $\lambda\le a_0$; у нас $\lambda$ примерно в $6$ раз меньше периода, так что угол честный и небольшой.

Почему модель законна. Электроны разгоняются из состояния покоя, вся работа поля идёт в их кинетическую энергию; скорость электронов много меньше скорости света; лист графена считаем плоской решёткой с периодом $a_0$, на которую электронная волна падает по нормали.