ID: 00026551
Плоская монохроматическая световая волна с длиной волны 400 нм падает по нормали на дифракционную решётку с периодом 5 мкм. Параллельно решётке позади неё размещена собирающая линза с фокусным расстоянием 20 см. Дифракционная картина наблюдается на экране в задней фокальной плоскости линзы. Найдите расстояние между главными максимумами дифракционной картины 1-го и 2-го порядков. Считать для малых углов ($\varphi \ll 1$ в радианах) $\mathrm{tg}\,\varphi\approx\sin\varphi\approx\varphi$.
Источник: ФИПИ
Здесь всё известно про «прибор» — и длина волны, и период решётки, и фокусное расстояние линзы, — а спросить хотят про картинку на экране: насколько далеко друг от друга окажутся яркие полосы первого и второго порядков. Значит, задача чисто «прямая»: пройти по цепочке решётка → угол → точка на экране.
Шаг 1 — какие направления усиливаются. Решётка — это множество одинаковых щелей через равные промежутки $d$. В тех направлениях, где волны от соседних щелей отстают друг от друга на целое число длин волн, они складываются в фазе и дают яркий главный максимум: $$d\sin\varphi=k\lambda,\qquad k=0,\ 1,\ 2,\ \ldots$$
Шаг 2 — почему нужна линза. Из каждой щели свет уходит под всеми углами, и «параллельный пучок под углом $\varphi$» сам по себе сойдётся только на бесконечности. Линза делает это за нас: любой параллельный пучок она собирает в точку своей задней фокальной плоскости. Именно там и стоит экран, поэтому картина получается резкой, а координата максимума равна $x=f\,\mathrm{tg}\,\varphi$, где $f=20\ \text{см}=0{,}2$ м.
Шаг 3 — соединяем два шага. Углы малы, и условие разрешает $\mathrm{tg}\,\varphi\approx\sin\varphi\approx\varphi$. Тогда $\sin\varphi_{k}=\dfrac{k\lambda}{d}$ и $$x_{k}=f\,\frac{k\lambda}{d}.$$
Шаг 4 — расстояние между первым и вторым максимумами. $$\Delta x=x_{2}-x_{1}=\frac{2f\lambda}{d}-\frac{f\lambda}{d}=\frac{f\lambda}{d}.$$ Подставляем $f=0{,}2$ м, $\lambda=400\ \text{нм}=4\cdot10^{-7}$ м, $d=5\ \text{мкм}=5\cdot10^{-6}$ м: $$\Delta x=\frac{0{,}2\cdot4\cdot10^{-7}}{5\cdot10^{-6}}=\frac{8\cdot10^{-8}}{5\cdot10^{-6}}=1{,}6\cdot10^{-2}\ \text{м}=16\ \text{мм}.$$
Стоит убедиться, что приближение малых углов не подвело: $\sin\varphi_{2}=\dfrac{2\cdot4\cdot10^{-7}}{5\cdot10^{-6}}=0{,}16$, то есть угол около $9^{\circ}$; синус и тангенс здесь отличаются примерно на процент, что вполне укладывается в предложенное приближение. Заметь ещё, что расстояние между любыми соседними максимумами получилось одинаковым — картина равномерная, пока углы малы.
Почему модель именно такая. В основе — два положения. Первое: условие главных максимумов дифракционной решётки $d\sin\varphi=k\lambda$, применимое, потому что на решётку по нормали падает плоская монохроматическая волна и разность хода соседних лучей равна $d\sin\varphi$. Второе: фокусирующее свойство тонкой собирающей линзы — параллельный пучок, наклонённый на угол $\varphi$ к главной оптической оси, собирается в точку задней фокальной плоскости на расстоянии $f\,\mathrm{tg}\,\varphi$ от оси. Поскольку экран совмещён с этой плоскостью, положение максимума определяется исключительно углом дифракции.