ID: 00026550
Плоская монохроматическая световая волна с длиной волны 400 нм падает по нормали на дифракционную решётку. Параллельно решётке позади неё размещена собирающая линза. Дифракционная картина наблюдается на экране в задней фокальной плоскости линзы. Расстояние между её главными максимумами 1-го и 2-го порядков равно 16 мм. Найдите период решётки, если фокусное расстояние линзы равно 24 см. Считать для малых углов ( j << 1 в радианах) $\mathrm{\varphi}\approx \sin \mathrm{\varphi}\approx \text{tg}\mathrm{\varphi}$ .
Источник: ФИПИ
Свет одной длины волны падает на решётку, та рассыпает его веером направлений, а линза каждое направление превращает в яркую точку на экране. Экран стоит в задней фокальной плоскости, поэтому на нём мы видим набор главных максимумов: нулевой в центре, первый, второй и так далее. Известно, насколько разъехались первый и второй, — по этому и надо восстановить период решётки.
Шаг 1 — условие максимумов. Для решётки с периодом $d$ при нормальном падении света главные максимумы наблюдаются под углами, для которых $d\sin\varphi=k\lambda$, где $k=0,\ 1,\ 2,\ \ldots$ Смысл простой: волны от соседних щелей приходят в максимум с разностью хода, кратной длине волны.
Шаг 2 — от угла к точке на экране. Собирающая линза направляет весь параллельный пучок, идущий под углом $\varphi$, в одну точку задней фокальной плоскости; она отстоит от главной оптической оси на $x=F\,\mathrm{tg}\,\varphi$. Углы малы, условие позволяет принять $\varphi\approx\sin\varphi\approx\mathrm{tg}\,\varphi$, поэтому $$x_{k}=F\,\frac{k\lambda}{d}.$$
Шаг 3 — расстояние между соседними максимумами. Для $k=1$ и $k=2$: $x_{1}=\dfrac{F\lambda}{d}$, $x_{2}=\dfrac{2F\lambda}{d}$. Их разность и есть данные нам $16$ мм: $$\Delta x=x_{2}-x_{1}=\frac{F\lambda}{d}.$$ Приятная деталь: разность одинакова для любых соседних порядков — в приближении малых углов картинка равномерная.
Шаг 4 — считаем период. Выразим $d=\dfrac{F\lambda}{\Delta x}$. Переводим всё в СИ: $F=24\ \text{см}=0{,}24$ м, $\lambda=400\ \text{нм}=4\cdot10^{-7}$ м, $\Delta x=16\ \text{мм}=0{,}016$ м. Тогда $$d=\frac{0{,}24\cdot4\cdot10^{-7}}{0{,}016}=\frac{9{,}6\cdot10^{-8}}{1{,}6\cdot10^{-2}}=6\cdot10^{-6}\ \text{м}=6\ \text{мкм}.$$
Проверим, не подвело ли приближение малых углов: $\sin\varphi_{2}=\dfrac{2\lambda}{d}=\dfrac{8\cdot10^{-7}}{6\cdot10^{-6}}\approx0{,}13$, то есть около $7{,}7^{\circ}$ — тангенс и синус здесь совпадают с точностью лучше процента, так что решение самосогласовано. Заодно видно, что $d$ в 15 раз больше длины волны — на такой решётке действительно наблюдаются несколько порядков.
Почему модель именно такая. Опираемся на два утверждения. Первое — условие главных максимумов дифракционной решётки $d\sin\varphi=k\lambda$; оно верно при нормальном падении плоской монохроматической волны, что прямо оговорено в условии. Второе — фокусирующее свойство тонкой собирающей линзы: пучок параллельных лучей собирается в точку её задней фокальной плоскости, причём смещение этой точки от оси равно $F\,\mathrm{tg}\,\varphi$. Благодаря этому положение максимума на экране зависит только от угла дифракции, а не от того, через какую именно щель прошёл свет.