Волновая Оптика… — Задание ЕГЭ по физике №00048327

Что здесь происходит. Тонкий воздушный зазор между двумя стеклянными пластинками имеет форму клина с очень малым углом. Пучок, отражаясь от верхней и нижней границ этого зазора, распадается на две волны, которые потом снова встречаются. В зависимости от толщины зазора в данном месте они усиливают или гасят друг друга — так появляются светлые и тёмные полосы вдоль ребра. Найдём, через какое расстояние повторяются светлые полосы, и как оно зависит от длины волны.

Дано: $\alpha=0{,}05^\circ$, $\lambda_1=436$ нм, $\lambda_2=691$ нм. Найти: $\Delta(\delta x)$.

Шаг 1 — разность хода в точке, где толщина зазора равна $d$. Свет идёт практически по нормали к зазору (наклон грани всего $0{,}05^\circ$), поэтому волна, отразившаяся от нижней границы, проходит лишний путь вниз и вверх: $\Delta=2d$ (плюс одинаковая для всех точек добавка в полволны из-за отражения от стекла — она сдвигает картину, но не меняет шаг полос).

Шаг 2 — геометрия клина. Толщина зазора растёт от ребра пропорционально расстоянию: $d=x\,\text{tg}\,\alpha\approx x\alpha$ ($\alpha$ в радианах).

Шаг 3 — шаг полос. Переход к соседней светлой полосе — это рост разности хода на одну длину волны: $2\alpha\,\delta x=\lambda$, откуда

$$\delta x=\dfrac{\lambda}{2\alpha}.$$

Ширина полосы пропорциональна длине волны, поэтому изменение ширины пропорционально изменению длины волны:

$$\Delta(\delta x)=\dfrac{\lambda_2-\lambda_1}{2\alpha}.$$

Шаг 4 — считаем. Угол в радианах: $\alpha=0{,}05^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180^\circ}\approx8{,}73\cdot10^{-4}$ рад, $2\alpha\approx1{,}745\cdot10^{-3}$. Разность длин волн $691-436=255$ нм:

$$\Delta(\delta x)=\dfrac{255\cdot10^{-9}}{1{,}745\cdot10^{-3}}\approx1{,}46\cdot10^{-4}\ \text{м}=146\ \text{мкм}.$$

Расстояние между полосами увеличится — у второго света длина волны больше.

Проверим себя вторым способом: $\delta x_1=\dfrac{436\cdot10^{-9}}{1{,}745\cdot10^{-3}}\approx249{,}8$ мкм, $\delta x_2=\dfrac{691\cdot10^{-9}}{1{,}745\cdot10^{-3}}\approx395{,}9$ мкм, разность $\approx146$ мкм — сходится.

Почему модель законна. Угол клина мал, поэтому $\text{tg}\,\alpha\approx\alpha$ и падение света можно считать нормальным к зазору; пластинки тонкие и плоские; свет параллельный и монохроматический; учитываем две волны, отражённые от границ воздушного слоя, многократными отражениями пренебрегаем; зачернённая плоскость лишнего отражённого света не даёт.