L/C контур (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00048447

Что тут происходит. Входной контур приёмника — это колебательный контур из катушки и конденсатора. «Настроен на длину волны $25$ м» значит, что собственные колебания контура идут с той же частотой, что и принимаемая радиоволна. Зная длину волны, найдём частоту колебаний, а через неё свяжем амплитуды тока и напряжения. Контур считаем идеальным (без потерь).

Дано: $\lambda=25$ м, $C=1200\ \text{пФ}=1{,}2\cdot10^{-9}$ Ф, $I_0=10\ \text{мА}=10^{-2}$ А, $c=3\cdot10^{8}$ м/с. Найти: $U_0$.

Шаг 1 — частота колебаний. Волна за один период проходит одну длину волны: $\lambda=cT$. Значит, циклическая частота

$$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi c}{\lambda}=\dfrac{2\cdot3{,}14\cdot3\cdot10^{8}}{25}\approx7{,}54\cdot10^{7}\ \text{рад/с}.$$

Шаг 2 — связь амплитуд. Заряд конденсатора меняется по гармоническому закону с амплитудой $q_0$, а ток — это скорость изменения заряда, поэтому $I_0=\omega q_0$. Заряд и напряжение конденсатора связаны ёмкостью: $q_0=CU_0$. Отсюда

$$I_0=\omega CU_0\quad\Rightarrow\quad U_0=\dfrac{I_0}{\omega C}=\dfrac{I_0\lambda}{2\pi cC}.$$

Шаг 3 — считаем:

$$U_0=\dfrac{10^{-2}}{7{,}54\cdot10^{7}\cdot1{,}2\cdot10^{-9}}=\dfrac{10^{-2}}{9{,}05\cdot10^{-2}}\approx0{,}11\ \text{В}=110\ \text{мВ}.$$

Проверим себя через энергию. Период $T=\dfrac{\lambda}{c}=\dfrac{25}{3\cdot10^{8}}\approx8{,}33\cdot10^{-8}$ с, по формуле Томсона $L=\dfrac{T^2}{4\pi^2C}=\dfrac{6{,}94\cdot10^{-15}}{39{,}5\cdot1{,}2\cdot10^{-9}}\approx1{,}47\cdot10^{-7}$ Гн. Наибольшие энергии: $\dfrac{CU_0^2}{2}=\dfrac{1{,}2\cdot10^{-9}\cdot0{,}11^2}{2}\approx7{,}3\cdot10^{-12}$ Дж и $\dfrac{LI_0^2}{2}=\dfrac{1{,}47\cdot10^{-7}\cdot10^{-4}}{2}\approx7{,}3\cdot10^{-12}$ Дж — совпадают, как и должно быть в идеальном контуре.