L/C контур (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00048339

Что тут происходит. В каждом контуре заряд перетекает с одной обкладки конденсатора на другую через катушку и обратно. Конденсаторы в контурах одинаковые, а периоды разные — значит, различаются катушки. Наибольший ток в обоих контурах одинаков. Надо сравнить наибольшие напряжения на конденсаторах.

Дано: $C_1=C_2=C$, $T_1=8\cdot10^{-8}$ с, $T_2=2\cdot10^{-8}$ с, $I_{m1}=I_{m2}=I_m$. Найти: $\dfrac{U_{m1}}{U_{m2}}$.

Шаг 1 — связь амплитуд тока и заряда. Заряд конденсатора меняется по гармоническому закону $q=q_m\cos\omega t$, а ток — это скорость изменения заряда, поэтому амплитуда тока

$$I_m=\omega q_m=\dfrac{2\pi}{T}\,q_m\quad\Rightarrow\quad q_m=\dfrac{I_mT}{2\pi}.$$

Шаг 2 — напряжение на конденсаторе. По определению ёмкости $U=\dfrac{q}{C}$, значит, наибольшее напряжение

$$U_m=\dfrac{q_m}{C}=\dfrac{I_mT}{2\pi C}.$$

Шаг 3 — сравниваем контуры. Ток $I_m$ и ёмкость $C$ у них одинаковые, поэтому напряжения относятся как периоды:

$$\dfrac{U_{m1}}{U_{m2}}=\dfrac{T_1}{T_2}=\dfrac{8\cdot10^{-8}}{2\cdot10^{-8}}=4.$$

Значит, во втором контуре амплитуда напряжения в $4$ раза меньше, чем в первом.

Проверим себя через энергию. В идеальном контуре $\dfrac{CU_m^2}{2}=\dfrac{LI_m^2}{2}$, то есть $U_m=I_m\sqrt{\dfrac{L}{C}}$. По формуле Томсона $T=2\pi\sqrt{LC}$: при той же ёмкости период второго контура вчетверо меньше, значит, индуктивность его катушки в $4^2=16$ раз меньше. Тогда $\sqrt{L}$ меньше в $4$ раза, и $U_m$ — тоже в $4$ раза. Совпадает.