L/C контур (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00048323

Что тут происходит. Входной контур приёмника — катушка и конденсатор. В идеальном контуре энергия перетекает из конденсатора в катушку и обратно без потерь: когда напряжение на конденсаторе наибольшее, тока нет, а когда ток наибольший, конденсатор разряжен. Индуктивность катушки не дана, но её можно найти по длине волны, на которую настроен приёмник.

Дано: $\lambda=16$ м, $C=1500\ \text{пФ}=1{,}5\cdot10^{-9}$ Ф, $U_0=90\ \text{мВ}=9\cdot10^{-2}$ В, $c=3\cdot10^{8}$ м/с. Найти: $I_0$.

Шаг 1 — закон сохранения энергии. Наибольшая энергия конденсатора равна наибольшей энергии катушки:

$$\dfrac{CU_0^2}{2}=\dfrac{LI_0^2}{2}\quad\Rightarrow\quad I_0=U_0\sqrt{\dfrac{C}{L}}.$$

Шаг 2 — индуктивность по настройке. Контур настроен на волну: его период равен периоду волны $T=\dfrac{\lambda}{c}$, а по формуле Томсона $T=2\pi\sqrt{LC}$. Отсюда

$$T=\dfrac{16}{3\cdot10^{8}}\approx5{,}33\cdot10^{-8}\ \text{с},\qquad L=\dfrac{T^2}{4\pi^2C}=\dfrac{2{,}84\cdot10^{-15}}{39{,}5\cdot1{,}5\cdot10^{-9}}\approx4{,}8\cdot10^{-8}\ \text{Гн}.$$

Шаг 3 — ток:

$$I_0=U_0\sqrt{\dfrac{C}{L}}=9\cdot10^{-2}\cdot\sqrt{\dfrac{1{,}5\cdot10^{-9}}{4{,}8\cdot10^{-8}}}=9\cdot10^{-2}\cdot\sqrt{0{,}03125}\approx9\cdot10^{-2}\cdot0{,}177\approx1{,}59\cdot10^{-2}\ \text{А}.$$

Если подставить $L$ в общем виде, получается короткая формула $I_0=\dfrac{2\pi cCU_0}{\lambda}=\dfrac{2\cdot3{,}14\cdot3\cdot10^{8}\cdot1{,}5\cdot10^{-9}\cdot9\cdot10^{-2}}{16}\approx1{,}59\cdot10^{-2}$ А — то же самое.

Проверим себя через заряд. Циклическая частота $\omega=\dfrac{2\pi}{T}\approx1{,}18\cdot10^{8}$ рад/с, наибольший заряд $q_0=CU_0=1{,}5\cdot10^{-9}\cdot9\cdot10^{-2}=1{,}35\cdot10^{-10}$ Кл, ток $I_0=\omega q_0\approx1{,}18\cdot10^{8}\cdot1{,}35\cdot10^{-10}\approx1{,}59\cdot10^{-2}$ А. Частота $\nu=\dfrac{c}{\lambda}\approx18{,}8$ МГц — как раз коротковолновый диапазон.