L/C контур (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00048393

Что тут происходит. В идеальном контуре конденсатор замкнут прямо на катушку, и энергия перетекает между ними без потерь. Закон для напряжения на конденсаторе сообщает и наибольшее напряжение, и то, как быстро идут колебания. Известен ещё наибольший ток. Ёмкость не дана — её придётся исключить.

Дано: $U_C=10\sin(10000t+\pi)$ (величины в СИ), $I_{\max}=0{,}1$ А. Найти: $L$.

Шаг 1 — читаем закон колебаний. Сравним с общим видом $U_C=U_{\max}\sin(\omega t+\varphi_0)$: наибольшее напряжение $U_{\max}=10$ В, циклическая частота $\omega=10^{4}$ рад/с. Слагаемое $\pi$ — начальная фаза: оно лишь сдвигает колебание во времени и не влияет ни на амплитуду, ни на частоту.

Шаг 2 — две связи с ёмкостью. Закон сохранения энергии в идеальном контуре и формула Томсона:

$$\dfrac{CU_{\max}^2}{2}=\dfrac{LI_{\max}^2}{2},\qquad\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\ \Rightarrow\ C=\dfrac{1}{\omega^2L}.$$

Шаг 3 — исключаем ёмкость. Подставим $C$ в равенство энергий:

$$\dfrac{U_{\max}^2}{\omega^2L}=LI_{\max}^2\quad\Rightarrow\quad L=\dfrac{U_{\max}}{\omega I_{\max}}.$$

Шаг 4 — считаем:

$$L=\dfrac{10}{10^{4}\cdot0{,}1}=\dfrac{10}{10^{3}}=0{,}01\ \text{Гн}=10\ \text{мГн}.$$

Проверим себя. Ёмкость $C=\dfrac{1}{\omega^2L}=\dfrac{1}{10^{8}\cdot0{,}01}=10^{-6}$ Ф. Наибольший заряд $q_{\max}=CU_{\max}=10^{-5}$ Кл, а наибольший ток $\omega q_{\max}=10^{4}\cdot10^{-5}=0{,}1$ А — как в условии. Единицы: $\dfrac{\text{В}}{\text{с}^{-1}\cdot\text{А}}=\dfrac{\text{В}\cdot\text{с}}{\text{А}}=\text{Гн}$.