L/C контур (нет… — Задание 23 ЕГЭ по физике №00043157

Что тут происходит. В идеальном контуре конденсатор и катушка соединены друг с другом, заряд бегает туда-обратно, напряжение на конденсаторе и ток в катушке колеблются по синусу. Известен закон для напряжения и наибольший ток, а найти нужно индуктивность катушки.

Шаг 1 — снимаем данные с закона. Колебание вида $U_C=U_0\sin(\omega t+\varphi_0)$ сравниваем с $U_C=20\sin(5000t+\pi)$: амплитуда напряжения $U_0=20$ В, циклическая частота $\omega=5000$ рад/с. Слагаемое $\pi$ — начальная фаза: оно лишь переворачивает знак синуса в начальный момент, а размах колебаний остаётся тем же, поэтому на амплитуды не влияет.

Шаг 2 — связь энергий. Контур идеальный, сопротивления нет, поэтому полная энергия сохраняется. В момент, когда конденсатор заряжен сильнее всего, ток равен нулю и энергия вся в конденсаторе; когда конденсатор разряжен, ток наибольший и энергия вся в катушке: $$\frac{CU_0^2}{2}=\frac{LI_{max}^2}{2}.$$

Шаг 3 — избавляемся от ёмкости. Её в условии нет, но она связана с частотой формулой Томсона: $$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{\omega^2L}.$$

Шаг 4 — выражаем индуктивность. Подставляем $C$ в равенство энергий: $$\frac{U_0^2}{\omega^2L}=LI_{max}^2\quad\Rightarrow\quad L^2=\frac{U_0^2}{\omega^2I_{max}^2}\quad\Rightarrow\quad L=\frac{U_0}{\omega I_{max}}.$$

Шаг 5 — числа. Все величины уже в СИ: $$L=\frac{20}{5000\cdot0{,}2}=\frac{20}{1000}=0{,}02\ \text{Гн}=20\ \text{мГн}.$$

Проверим себя через катушку. Катушка подключена прямо к конденсатору, значит напряжение на ней в каждый момент равно напряжению на конденсаторе. А напряжение на катушке — это ЭДС самоиндукции, она равна $L$, умноженной на скорость изменения тока. Наибольшая скорость изменения синусоидального тока равна $\omega I_{max}$, поэтому $U_0=L\omega I_{max}$ — та же формула и то же число: $0{,}02\cdot5000\cdot0{,}2=20$ В.