Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00048446

Что тут происходит. Параллельный пучок шире линз. Свет, который проходит мимо линз, идёт прямо и освещает экран — везде, кроме круглой тени диаметром $6$ см, которую отбрасывают линзы. Свет, попавший в собирающую линзу (круг диаметром $6$ см), сходится, проходит рассеивающую линзу и приходит на экран отдельным светлым пятном. «Экран освещён равномерно» значит, что на нём нет ни более тёмных, ни более ярких мест: светлое пятно должно ровно закрыть тень, а освещённость в пятне должна быть такой же, как вокруг.

Дано: $D_1=4$ дптр, $a=25$ см (между линзами), $F_2=20$ см, $d_{\text{л}}=6$ см. Найти: $L$.

Шаг 1 — где сходится пучок. Фокусное расстояние собирающей линзы

$$F_1=\dfrac{1}{D_1}=\dfrac{1}{4}\ \text{м}=25\ \text{см}.$$

Параллельный пучок, идущий вдоль главной оптической оси, собирается в главном фокусе — в $25$ см за собирающей линзой. Но ровно на этом расстоянии стоит рассеивающая линза. Значит, все лучи сходятся в одну точку — в её оптический центр.

Шаг 2 — что делает рассеивающая линза. Луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, не преломляется. Все лучи пучка проходят через центр рассеивающей линзы, поэтому она их не отклоняет — её фокусное расстояние $20$ см в этой задаче ни на что не влияет. За линзой лучи расходятся, продолжая свои прямые.

Шаг 3 — размер пятна. До точки схождения пучок был конусом: основание $6$ см, высота $25$ см. За точкой схождения лучи идут по тем же прямым, и конус расширяется с тем же наклоном: на расстоянии $L$ от точки схождения диаметр пятна

$$d_{\text{п}}=d_{\text{л}}\cdot\dfrac{L}{F_1}.$$

Шаг 4 — условие равномерности. В пятно приходит весь свет, прошедший через собирающую линзу, то есть тот же световой поток, который в пучке падал на круг диаметром $6$ см. Вокруг тени на экран падает прямой свет того же пучка. Если пятно тоже имеет диаметр $6$ см, этот поток ложится на ту же площадь — освещённость в пятне равна освещённости вокруг, и пятно ровно закрывает тень. Значит, нужно $d_{\text{п}}=d_{\text{л}}$:

$$d_{\text{л}}\cdot\dfrac{L}{F_1}=d_{\text{л}}\quad\Rightarrow\quad L=F_1=25\ \text{см}.$$

Рисунок: крайние лучи пучка после собирающей линзы идут к центру рассеивающей, пересекаются в нём и симметрично расходятся до краёв тени на экране; лучи пучка за краями линз идут мимо них прямо; экран стоит за рассеивающей линзой на таком же расстоянии, на каком она стоит от собирающей.

Проверим себя. Поставим экран ближе, например при $L=10$ см: пятно диаметром $6\cdot\dfrac{10}{25}=2{,}4$ см, весь поток собран на маленькой площади — в середине яркое пятно, а между ним и краем тени (до $6$ см) тёмное кольцо. Поставим дальше, при $L=50$ см: пятно диаметром $6\cdot\dfrac{50}{25}=12$ см, тот же поток размазан на вчетверо большую площадь — середина тусклее фона, а кольцо от $6$ до $12$ см, где пятно наложилось на прямой свет, ярче фона. Равномерно экран освещён только при $L=25$ см.