ID: 00026402
Линзу удерживают на расстоянии 3 см от тетрадного листа с клетками, на котором нарисованы направленные в одну сторону одинаковые стрелки. (На фотографии показано изображение стрелок, которое видит и глаз человека.) Укажите тип линзы (собирающая или рассеивающая) и вычислите, используя фотографию, фокусное расстояние этой линзы. Ответ объясните, опираясь на явления и законы оптики. Линзу при этом считать тонкой.
Источник: ФИПИ
Сначала внимательно посмотрим на фотографию. На тетрадном листе нарисованы одинаковые стрелки, все смотрят в одну сторону — вверх. Вне линзы видны мелкие стрелки и мелкие клетки. Внутри круга линзы и стрелки, и клетки заметно крупнее, но смотрят стрелки туда же, вверх: изображение не перевёрнуто. Если сравнить клетки тетради, видно, что клетка через линзу ровно в два раза шире клетки рядом с линзой, — значит, увеличение $\Gamma=2$. Расстояние от линзы до листа дано: $d=3$ см.
Определим тип линзы и обоснуем это. Изображение мы видим глазом сквозь линзу, поймать его на экран нельзя — такое изображение называют мнимым. Рассеивающая линза даёт мнимое изображение всегда, но оно всегда уменьшенное (её увеличение меньше единицы при любом положении предмета). У нас же изображение увеличенное, значит, линза собирающая. Собирающая линза даёт увеличенное прямое мнимое изображение в одном единственном случае — когда предмет находится ближе фокуса, чем линза, то есть $d\lt F$. Именно так работает лупа, и именно это на фотографии.
Теперь запишем модель. Линзу считаем тонкой, поэтому применима формула тонкой линзы. Для мнимого изображения расстояние до него входит в неё со знаком минус: $$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f},$$ где $f\gt 0$ — расстояние от линзы до мнимого изображения. Увеличение по-прежнему есть отношение расстояний, $\Gamma=\dfrac{f}{d}$ (это следует из подобия треугольников, отсекаемых лучом, который идёт через оптический центр без преломления). Именно поэтому во сколько раз крупнее выглядят клетки, во столько же раз изображение «отодвинуто» от линзы по сравнению с предметом.
Шаг 1 — найдём расстояние до изображения: $$f=\Gamma d=2\cdot 3=6\ \text{см}.$$
Шаг 2 — подставим в формулу тонкой линзы: $$\frac{1}{F}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2-1}{6}=\frac{1}{6}\ \text{см}^{-1}.$$
Шаг 3 — отсюда $$F=6\ \text{см}.$$ В общем виде это записывается так: $F=\dfrac{\Gamma d}{\Gamma-1}=\dfrac{2\cdot 3}{2-1}=6$ см.
Проверим, не противоречим ли сами себе. Мы получили $F=6$ см, а лист лежит на $d=3$ см от линзы, то есть действительно ближе фокуса ($3\ \text{см}\lt 6\ \text{см}$) — как и требуется для увеличенного прямого мнимого изображения. Всё согласуется с фотографией: чуть отодвинь такую линзу дальше $6$ см, и картинка «перевернётся», а стрелки внутри круга станут смотреть вниз.
Линза собирающая (она даёт увеличенное прямое мнимое изображение, а рассеивающая линза всегда уменьшает). По фотографии увеличение $\Gamma=2$, отсюда $F=\dfrac{\Gamma d}{\Gamma-1}=6$ см.