Задание ЕГЭ по физике: Тонкая линза с фокусным расстоянием F = 20 см даёт…

Сформулируем задачу своими словами. Есть тонкая линза с фокусным расстоянием F=20 см. Предмет поставили так, что изображение вышло действительным (его можно поймать на экран) и в 5 раз крупнее самого предмета. Нужно найти расстояние от предмета до линзы — обозначим его d.

Обоснуем, какая физика тут работает. Раз изображение действительное и увеличенное, линза обязана быть собирающей: у рассеивающей линзы изображение всегда мнимое и уменьшенное. Для тонкой линзы, то есть такой, толщиной которой можно пренебречь, справедлива формула \dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}, где f — расстояние от линзы до изображения; знак «плюс» перед вторым слагаемым отвечает именно действительному изображению. Кроме того, линейное увеличение тонкой линзы равно отношению расстояний: \Gamma=\dfrac{f}{d}. Это не отдельный закон, а следствие геометрии: луч, идущий через оптический центр, не преломляется, и он отсекает два подобных треугольника — «предмет и линза» и «линза и изображение».

Шаг 1 — уберём лишнюю неизвестную. Нам нужен d, поэтому расстояние до изображения выразим через него: f=\Gamma d=5d.

Шаг 2 — подставим в формулу тонкой линзы и приведём к общему знаменателю: \frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{5d}=\frac{5+1}{5d}=\frac{6}{5d}.

Шаг 3 — выразим d: d=\frac{6F}{5}=\frac{6\cdot 20}{5}=24\ \text{см}. И сразу проверим, где окажется изображение: f=5d=120 см.

Шаг 4 — построение. Отложи от линзы 24 см и поставь там предмет перпендикулярно главной оптической оси; обрати внимание, что он попал в промежуток между фокусом (20 см) и двойным фокусом (40 см). Из верхней точки предмета проведи первый луч параллельно главной оптической оси — после линзы он пройдёт через задний фокус. Второй луч проведи прямо через оптический центр — он идёт без излома. Точка пересечения этих лучей за линзой (на расстоянии 120 см) даёт верхнюю точку изображения; изображение получается перевёрнутым, действительным и в 5 раз больше предмета.

Проверим ответ подстановкой: \dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{120}=\dfrac{5}{120}+\dfrac{1}{120}=\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{F} — верно. Логика тоже не подводит: чем ближе предмет подводят к фокусу, тем дальше уезжает изображение и тем сильнее оно увеличивается; пятикратному увеличению соответствует положение чуть дальше фокуса — наши 24 см против 20 см.