ID: 00026405
Тонкая линза с фокусным расстоянием F = 20 см даёт действительное, увеличенное в 5 раз изображение предмета. На каком расстоянии от линзы находится предмет? Постройте изображение предмета в линзе.
Источник: ФИПИ
Сформулируем задачу своими словами. Есть тонкая линза с фокусным расстоянием $F=20$ см. Предмет поставили так, что изображение вышло действительным (его можно поймать на экран) и в $5$ раз крупнее самого предмета. Нужно найти расстояние от предмета до линзы — обозначим его $d$.
Обоснуем, какая физика тут работает. Раз изображение действительное и увеличенное, линза обязана быть собирающей: у рассеивающей линзы изображение всегда мнимое и уменьшенное. Для тонкой линзы, то есть такой, толщиной которой можно пренебречь, справедлива формула $\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}$, где $f$ — расстояние от линзы до изображения; знак «плюс» перед вторым слагаемым отвечает именно действительному изображению. Кроме того, линейное увеличение тонкой линзы равно отношению расстояний: $\Gamma=\dfrac{f}{d}$. Это не отдельный закон, а следствие геометрии: луч, идущий через оптический центр, не преломляется, и он отсекает два подобных треугольника — «предмет и линза» и «линза и изображение».
Шаг 1 — уберём лишнюю неизвестную. Нам нужен $d$, поэтому расстояние до изображения выразим через него: $$f=\Gamma d=5d.$$
Шаг 2 — подставим в формулу тонкой линзы и приведём к общему знаменателю: $$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{5d}=\frac{5+1}{5d}=\frac{6}{5d}.$$
Шаг 3 — выразим $d$: $$d=\frac{6F}{5}=\frac{6\cdot 20}{5}=24\ \text{см}.$$ И сразу проверим, где окажется изображение: $f=5d=120$ см.
Шаг 4 — построение. Отложи от линзы $24$ см и поставь там предмет перпендикулярно главной оптической оси; обрати внимание, что он попал в промежуток между фокусом ($20$ см) и двойным фокусом ($40$ см). Из верхней точки предмета проведи первый луч параллельно главной оптической оси — после линзы он пройдёт через задний фокус. Второй луч проведи прямо через оптический центр — он идёт без излома. Точка пересечения этих лучей за линзой (на расстоянии $120$ см) даёт верхнюю точку изображения; изображение получается перевёрнутым, действительным и в $5$ раз больше предмета.
Проверим ответ подстановкой: $\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{120}=\dfrac{5}{120}+\dfrac{1}{120}=\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{F}$ — верно. Логика тоже не подводит: чем ближе предмет подводят к фокусу, тем дальше уезжает изображение и тем сильнее оно увеличивается; пятикратному увеличению соответствует положение чуть дальше фокуса — наши $24$ см против $20$ см.
$d=F\cdot\dfrac{\Gamma+1}{\Gamma}=24$ см (изображение при этом получается на расстоянии $120$ см по другую сторону линзы).