ID: 00026395
Тонкая линза, оптическая сила которой равна 4 дптр, даёт действительное, увеличенное в 5 раз изображение предмета. На каком расстоянии от линзы находится предмет? Постройте изображение предмета в линзе.
Источник: ФИПИ
Сначала переведём условие на «оптический» язык. Оптическая сила $D=4$ дптр — это величина, обратная фокусному расстоянию, поэтому $F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{4}\ \text{м}=0{,}25$ м $=25$ см. Изображение действительное (то есть его можно поймать на экран) и увеличенное в $5$ раз. Нужно найти, на каком расстоянии от линзы стоит сам предмет.
Поясним, почему мы вправе применять именно формулу тонкой линзы. Линза по условию тонкая — значит, её толщиной можно пренебречь и считать, что все преломления происходят в одной плоскости; для такой линзы и справедлива формула $\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}$, где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — от линзы до изображения. Действительное изображение даёт только собирающая линза (её $F$ и $D$ положительны, что у нас и есть), причём предмет обязан стоять дальше фокуса. Линейное увеличение тонкой линзы — это отношение расстояний: $\Gamma=\dfrac{f}{d}$, потому что треугольники «предмет — центр линзы» и «центр линзы — изображение» подобны (луч через оптический центр не меняет направления).
Шаг 1 — свяжем $f$ и $d$ через увеличение. По условию $\Gamma=5$, значит $$\frac{f}{d}=5\quad\Rightarrow\quad f=5d.$$
Шаг 2 — подставим это в формулу тонкой линзы: $$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{5d}=\frac{5+1}{5d}=\frac{6}{5d}.$$
Шаг 3 — выразим $d$ и посчитаем: $$d=\frac{6F}{5}=\frac{6\cdot 25}{5}=30\ \text{см}.$$ Заодно найдём, где изображение: $f=5d=5\cdot 30=150$ см.
Шаг 4 — построение. Из верхней точки предмета (он стоит перпендикулярно главной оптической оси на расстоянии $30$ см от линзы) проводим два стандартных луча. Первый идёт параллельно главной оптической оси, а после линзы обязан пройти через задний фокус — точку на оси в $25$ см за линзой. Второй идёт прямо через оптический центр линзы, не меняя направления. Точка, где эти два преломлённых луча пересекаются, и есть изображение верхней точки предмета. Оно получается по другую сторону линзы, на расстоянии $150$ см, перевёрнутым и в $5$ раз больше предмета — то есть действительным и увеличенным, как и требовалось.
Проверка на здравый смысл: предмет стоит между фокусом ($25$ см) и двойным фокусом ($50$ см) — а это как раз тот случай, когда собирающая линза даёт действительное увеличенное перевёрнутое изображение. Подставим ещё числа в исходную формулу: $\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{150}=\dfrac{5+1}{150}=\dfrac{1}{25}$ — совпало с $\dfrac{1}{F}$.
$d=F\left(1+\dfrac{1}{\Gamma}\right)=30$ см (изображение при этом находится на расстоянии $f=150$ см от линзы с другой стороны).