Задание ЕГЭ по физике: Тонкая линза, оптическая сила которой равна 4 дптр, даёт…

Сначала переведём условие на «оптический» язык. Оптическая сила D=4 дптр — это величина, обратная фокусному расстоянию, поэтому F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{4}\ \text{м}=0{,}25 м =25 см. Изображение действительное (то есть его можно поймать на экран) и увеличенное в 5 раз. Нужно найти, на каком расстоянии от линзы стоит сам предмет.

Поясним, почему мы вправе применять именно формулу тонкой линзы. Линза по условию тонкая — значит, её толщиной можно пренебречь и считать, что все преломления происходят в одной плоскости; для такой линзы и справедлива формула \dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}, где d — расстояние от предмета до линзы, f — от линзы до изображения. Действительное изображение даёт только собирающая линза (её F и D положительны, что у нас и есть), причём предмет обязан стоять дальше фокуса. Линейное увеличение тонкой линзы — это отношение расстояний: \Gamma=\dfrac{f}{d}, потому что треугольники «предмет — центр линзы» и «центр линзы — изображение» подобны (луч через оптический центр не меняет направления).

Шаг 1 — свяжем f и d через увеличение. По условию \Gamma=5, значит \frac{f}{d}=5\quad\Rightarrow\quad f=5d.

Шаг 2 — подставим это в формулу тонкой линзы: \frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{5d}=\frac{5+1}{5d}=\frac{6}{5d}.

Шаг 3 — выразим d и посчитаем: d=\frac{6F}{5}=\frac{6\cdot 25}{5}=30\ \text{см}. Заодно найдём, где изображение: f=5d=5\cdot 30=150 см.

Шаг 4 — построение. Из верхней точки предмета (он стоит перпендикулярно главной оптической оси на расстоянии 30 см от линзы) проводим два стандартных луча. Первый идёт параллельно главной оптической оси, а после линзы обязан пройти через задний фокус — точку на оси в 25 см за линзой. Второй идёт прямо через оптический центр линзы, не меняя направления. Точка, где эти два преломлённых луча пересекаются, и есть изображение верхней точки предмета. Оно получается по другую сторону линзы, на расстоянии 150 см, перевёрнутым и в 5 раз больше предмета — то есть действительным и увеличенным, как и требовалось.

Проверка на здравый смысл: предмет стоит между фокусом (25 см) и двойным фокусом (50 см) — а это как раз тот случай, когда собирающая линза даёт действительное увеличенное перевёрнутое изображение. Подставим ещё числа в исходную формулу: \dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{150}=\dfrac{5+1}{150}=\dfrac{1}{25} — совпало с \dfrac{1}{F}.