Задание ЕГЭ по физике: Предмет расположен на главной оптической оси тонкой собирающей…

Разберём условие. Предмет стоит на главной оптической оси собирающей линзы, на расстоянии d=30 см от неё. Изображение получилось действительное, то есть его можно поймать на экран, и оно вдвое больше предмета: отношение высоты изображения к высоте предмета \Gamma=2. Найти надо фокусное расстояние линзы.

Проговорим модель. Линза тонкая, поэтому её толщиной пренебрегаем и считаем, что преломление происходит в одной плоскости — для такой линзы работает формула тонкой линзы \dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}, где f — расстояние от линзы до изображения. Оба слагаемых со знаком «плюс» именно потому, что линза собирающая, а изображение действительное. Отношение высот, о котором говорится в условии, — это и есть линейное увеличение, и для тонкой линзы оно равно отношению расстояний: \Gamma=\dfrac{f}{d}. Причина простая: луч, проходящий через оптический центр, не преломляется, и он отсекает пару подобных треугольников по обе стороны линзы; отношение их сходственных сторон и даёт эту формулу.

Шаг 1 — найдём расстояние до изображения. Тут оно считается прямо, потому что расстояние до предмета известно: f=\Gamma d=2\cdot 30=60\ \text{см}.

Шаг 2 — подставим оба расстояния в формулу тонкой линзы: \frac{1}{F}=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}=\frac{2}{60}+\frac{1}{60}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20}\ \text{см}^{-1}.

Шаг 3 — переворачиваем дробь: F=20\ \text{см}. В общем виде тот же результат записывается как F=\dfrac{\Gamma d}{\Gamma+1}=\dfrac{2\cdot 30}{3}=20 см.

Шаг 4 — построение. Поставь предмет перпендикулярно оси на расстоянии 30 см от линзы. Из его верхней точки проведи луч, параллельный главной оптической оси: после линзы он пойдёт через задний фокус, отмеченный в 20 см за линзой. Второй луч проведи через оптический центр линзы — он не преломляется. Пересечение этих лучей за линзой, на расстоянии 60 см, даёт верхнюю точку изображения. Оно получается перевёрнутым, действительным и вдвое больше предмета.

Проверка на здравый смысл: предмет оказался между фокусом (20 см) и двойным фокусом (40 см) — именно в этом промежутке собирающая линза даёт действительное увеличенное перевёрнутое изображение, что и сказано в условии. Всё согласуется.