Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00026406

Разберём условие. Предмет стоит на главной оптической оси собирающей линзы, на расстоянии $d=30$ см от неё. Изображение получилось действительное, то есть его можно поймать на экран, и оно вдвое больше предмета: отношение высоты изображения к высоте предмета $\Gamma=2$. Найти надо фокусное расстояние линзы.

Проговорим модель. Линза тонкая, поэтому её толщиной пренебрегаем и считаем, что преломление происходит в одной плоскости — для такой линзы работает формула тонкой линзы $\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}$, где $f$ — расстояние от линзы до изображения. Оба слагаемых со знаком «плюс» именно потому, что линза собирающая, а изображение действительное. Отношение высот, о котором говорится в условии, — это и есть линейное увеличение, и для тонкой линзы оно равно отношению расстояний: $\Gamma=\dfrac{f}{d}$. Причина простая: луч, проходящий через оптический центр, не преломляется, и он отсекает пару подобных треугольников по обе стороны линзы; отношение их сходственных сторон и даёт эту формулу.

Шаг 1 — найдём расстояние до изображения. Тут оно считается прямо, потому что расстояние до предмета известно: $$f=\Gamma d=2\cdot 30=60\ \text{см}.$$

Шаг 2 — подставим оба расстояния в формулу тонкой линзы: $$\frac{1}{F}=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}=\frac{2}{60}+\frac{1}{60}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20}\ \text{см}^{-1}.$$

Шаг 3 — переворачиваем дробь: $$F=20\ \text{см}.$$ В общем виде тот же результат записывается как $F=\dfrac{\Gamma d}{\Gamma+1}=\dfrac{2\cdot 30}{3}=20$ см.

Шаг 4 — построение. Поставь предмет перпендикулярно оси на расстоянии $30$ см от линзы. Из его верхней точки проведи луч, параллельный главной оптической оси: после линзы он пойдёт через задний фокус, отмеченный в $20$ см за линзой. Второй луч проведи через оптический центр линзы — он не преломляется. Пересечение этих лучей за линзой, на расстоянии $60$ см, даёт верхнюю точку изображения. Оно получается перевёрнутым, действительным и вдвое больше предмета.

Проверка на здравый смысл: предмет оказался между фокусом ($20$ см) и двойным фокусом ($40$ см) — именно в этом промежутке собирающая линза даёт действительное увеличенное перевёрнутое изображение, что и сказано в условии. Всё согласуется.