Задание ЕГЭ по физике: Тонкая линза с фокусным расстоянием F = 20 см даёт…

Сначала переведём условие на понятный язык. Линза даёт действительное изображение — значит, его реально можно поймать на экран, лучи после линзы по-настоящему собираются в точку. Изображение в 5 раз больше предмета. Известно фокусное расстояние F=20 см, а найти нужно, на каком расстоянии от линзы стоит экран с изображением, то есть величину f.

Поясним, какая модель работает. Линза тонкая, поэтому её толщиной пренебрегаем и считаем, что весь «изгиб» лучей происходит в одной плоскости — для такой линзы верна формула тонкой линзы \dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}, где d — расстояние от предмета до линзы, а f — от линзы до изображения. Оба слагаемых стоят со знаком «плюс» именно потому, что изображение действительное, а линза собирающая (действительное увеличенное изображение рассеивающая линза дать не может — она всегда уменьшает). Увеличение тонкой линзы равно отношению этих же расстояний, \Gamma=\dfrac{f}{d}: это видно из подобия двух треугольников, которые отсекает луч, идущий через оптический центр линзы без преломления.

Шаг 1 — выразим расстояние до предмета через расстояние до изображения. Раз \dfrac{f}{d}=\Gamma=5, то d=\frac{f}{5}. Так удобнее, потому что искомая величина — именно f, и лишнюю неизвестную мы сразу выкидываем.

Шаг 2 — подставим это в формулу тонкой линзы: \frac{1}{F}=\frac{1}{f/5}+\frac{1}{f}=\frac{5}{f}+\frac{1}{f}=\frac{6}{f}.

Шаг 3 — выразим f и посчитаем: f=6F=6\cdot 20=120\ \text{см}=1{,}2\ \text{м}. Заодно найдём и положение предмета: d=\dfrac{f}{5}=\dfrac{120}{5}=24 см.

Шаг 4 — построение. Предмет стоит перпендикулярно главной оптической оси на расстоянии 24 см от линзы, то есть между фокусом (20 см) и двойным фокусом (40 см). Из его верхней точки пускаем два луча: первый параллельно оси — после линзы он обязательно проходит через задний фокус; второй через оптический центр — он идёт не преломляясь. Там, где эти два луча пересеклись (на расстоянии 120 см с другой стороны линзы), и находится верхняя точка изображения. Оно получается перевёрнутым, действительным и в 5 раз больше предмета.

Проверка: подставим найденные числа в исходную формулу — \dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{120}=\dfrac{5}{120}+\dfrac{1}{120}=\dfrac{6}{120}=\dfrac{1}{20}, то есть ровно \dfrac{1}{F}. И качественно всё логично: предмет стоит чуть дальше фокуса, а такое положение как раз и даёт сильно увеличенное действительное изображение далеко за линзой — так работает проекционный аппарат.