Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00026400

Сначала переведём условие на понятный язык. Линза даёт действительное изображение — значит, его реально можно поймать на экран, лучи после линзы по-настоящему собираются в точку. Изображение в $5$ раз больше предмета. Известно фокусное расстояние $F=20$ см, а найти нужно, на каком расстоянии от линзы стоит экран с изображением, то есть величину $f$.

Поясним, какая модель работает. Линза тонкая, поэтому её толщиной пренебрегаем и считаем, что весь «изгиб» лучей происходит в одной плоскости — для такой линзы верна формула тонкой линзы $\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}$, где $d$ — расстояние от предмета до линзы, а $f$ — от линзы до изображения. Оба слагаемых стоят со знаком «плюс» именно потому, что изображение действительное, а линза собирающая (действительное увеличенное изображение рассеивающая линза дать не может — она всегда уменьшает). Увеличение тонкой линзы равно отношению этих же расстояний, $\Gamma=\dfrac{f}{d}$: это видно из подобия двух треугольников, которые отсекает луч, идущий через оптический центр линзы без преломления.

Шаг 1 — выразим расстояние до предмета через расстояние до изображения. Раз $\dfrac{f}{d}=\Gamma=5$, то $$d=\frac{f}{5}.$$ Так удобнее, потому что искомая величина — именно $f$, и лишнюю неизвестную мы сразу выкидываем.

Шаг 2 — подставим это в формулу тонкой линзы: $$\frac{1}{F}=\frac{1}{f/5}+\frac{1}{f}=\frac{5}{f}+\frac{1}{f}=\frac{6}{f}.$$

Шаг 3 — выразим $f$ и посчитаем: $$f=6F=6\cdot 20=120\ \text{см}=1{,}2\ \text{м}.$$ Заодно найдём и положение предмета: $d=\dfrac{f}{5}=\dfrac{120}{5}=24$ см.

Шаг 4 — построение. Предмет стоит перпендикулярно главной оптической оси на расстоянии $24$ см от линзы, то есть между фокусом ($20$ см) и двойным фокусом ($40$ см). Из его верхней точки пускаем два луча: первый параллельно оси — после линзы он обязательно проходит через задний фокус; второй через оптический центр — он идёт не преломляясь. Там, где эти два луча пересеклись (на расстоянии $120$ см с другой стороны линзы), и находится верхняя точка изображения. Оно получается перевёрнутым, действительным и в $5$ раз больше предмета.

Проверка: подставим найденные числа в исходную формулу — $\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{120}=\dfrac{5}{120}+\dfrac{1}{120}=\dfrac{6}{120}=\dfrac{1}{20}$, то есть ровно $\dfrac{1}{F}$. И качественно всё логично: предмет стоит чуть дальше фокуса, а такое положение как раз и даёт сильно увеличенное действительное изображение далеко за линзой — так работает проекционный аппарат.