Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00048431

Что здесь происходит. Свет выбивает электроны из катода — это фотоэффект. Выбитые электроны влетают в магнитное поле перпендикулярно его линиям, и сила Лоренца закручивает их по окружностям. Чем быстрее электрон, тем больше радиус окружности. Значит, максимальный радиус — у самых быстрых фотоэлектронов, а их скорость даёт уравнение Эйнштейна.

Дано: $A_{\text{вых}}=4{,}42\cdot10^{-19}$ Дж, $\nu=10^{15}$ Гц, $B=5\cdot10^{-4}$ Тл; $h=6{,}6\cdot10^{-34}$ Дж·с, $m=9{,}1\cdot10^{-31}$ кг, $e=1{,}6\cdot10^{-19}$ Кл. Найти: $R_{\max}$.

Шаг 1 — хватает ли энергии фотона. $h\nu=6{,}6\cdot10^{-34}\cdot10^{15}=6{,}6\cdot10^{-19}$ Дж — больше работы выхода, фотоэффект есть.

Шаг 2 — уравнение Эйнштейна. Энергия фотона идёт на работу выхода и на кинетическую энергию вылетевшего электрона; у самых быстрых электронов она максимальна:

$$E_{k\max}=h\nu-A_{\text{вых}}=6{,}6\cdot10^{-19}-4{,}42\cdot10^{-19}=2{,}18\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$

Шаг 3 — движение в магнитном поле. Сила Лоренца $F=evB$ перпендикулярна скорости, работы не совершает, поэтому модуль скорости в поле не меняется, а сила играет роль центростремительной. По второму закону Ньютона:

$$evB=\dfrac{mv^2}{R}\quad\Rightarrow\quad R=\dfrac{mv}{eB}=\dfrac{\sqrt{2mE_k}}{eB}.$$

Здесь мы заменили импульс $mv$ через кинетическую энергию: $E_k=\dfrac{mv^2}{2}$, значит $mv=\sqrt{2mE_k}$.

Шаг 4 — числа. Импульс самых быстрых электронов:

$$mv=\sqrt{2\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot2{,}18\cdot10^{-19}}=\sqrt{3{,}97\cdot10^{-49}}\approx6{,}30\cdot10^{-25}\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.$$

$$R_{\max}=\dfrac{6{,}30\cdot10^{-25}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5\cdot10^{-4}}=\dfrac{6{,}30\cdot10^{-25}}{8\cdot10^{-23}}\approx7{,}9\cdot10^{-3}\ \text{м}\approx7{,}9\ \text{мм}.$$

Проверим себя. Скорость самых быстрых электронов $v=\dfrac{6{,}30\cdot10^{-25}}{9{,}1\cdot10^{-31}}\approx6{,}9\cdot10^5$ м/с — в сотни раз меньше скорости света, поэтому обычные (нерелятивистские) формулы для кинетической энергии и импульса применимы. Подстановка обратно: $evB=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot6{,}9\cdot10^5\cdot5\cdot10^{-4}\approx5{,}5\cdot10^{-17}$ Н и $\dfrac{mv^2}{R}=\dfrac{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot(6{,}9\cdot10^5)^2}{7{,}9\cdot10^{-3}}\approx5{,}5\cdot10^{-17}$ Н — совпадают.

Почему модель законна. Поле однородное, электроны влетают перпендикулярно линиям индукции — поэтому траектория именно окружность. Скорость много меньше скорости света, силой тяжести по сравнению с силой Лоренца пренебрегаем, электроны друг с другом не взаимодействуют.