Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00048429

Что здесь происходит. Солнце излучает во все стороны одну и ту же полную мощность. Чем дальше от Солнца, тем на большую сферу она «размазывается», и тем меньше света попадает в зрачок. Глаз замечает свет, пока в зрачок приходит хотя бы $5$ фотонов в секунду. Найдём расстояние, на котором поток в зрачок падает как раз до этого порога.

Дано: $\lambda=600$ нм $=6\cdot10^{-7}$ м, $R_{\text{З}}=1{,}5\cdot10^{11}$ м, $C_{\text{З}}=1{,}36\cdot10^3$ Вт/м², $D=8$ мм $=8\cdot10^{-3}$ м, пороговое число фотонов $n=5$ в секунду; $h=6{,}6\cdot10^{-34}$ Дж·с, $c=3\cdot10^8$ м/с. Найти: $R$ в световых годах.

Шаг 1 — пороговая мощность. Энергия одного фотона по формуле Планка

$$E_{\text{ф}}=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{6{,}6\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8}{6\cdot10^{-7}}=3{,}3\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$

Пять фотонов в секунду — это мощность $P_{\min}=nE_{\text{ф}}=5\cdot3{,}3\cdot10^{-19}=1{,}65\cdot10^{-18}$ Вт.

Шаг 2 — площадь зрачка. Зрачок — круг диаметром $D$, его радиус $D/2=4$ мм:

$$S=\dfrac{\pi D^2}{4}=\dfrac{3{,}14\cdot(8\cdot10^{-3})^2}{4}\approx5{,}03\cdot10^{-5}\ \text{м}^2.$$

Шаг 3 — как поток зависит от расстояния. Полная мощность Солнца $P_{\odot}$ одна и та же, она распределяется по сфере площадью $4\pi r^2$. Поэтому плотность потока убывает обратно квадрату расстояния: $C(R)=C_{\text{З}}\left(\dfrac{R_{\text{З}}}{R}\right)^2$.

Шаг 4 — условие порога. На предельном расстоянии в зрачок попадает ровно пороговая мощность:

$$C_{\text{З}}\left(\dfrac{R_{\text{З}}}{R}\right)^2S=P_{\min}\quad\Rightarrow\quad R=R_{\text{З}}\sqrt{\dfrac{C_{\text{З}}S}{P_{\min}}}.$$

У Земли в зрачок попадает $C_{\text{З}}S=1360\cdot5{,}03\cdot10^{-5}\approx6{,}84\cdot10^{-2}$ Вт. Отношение к порогу $\dfrac{6{,}84\cdot10^{-2}}{1{,}65\cdot10^{-18}}\approx4{,}14\cdot10^{16}$, корень из него $\approx2{,}04\cdot10^8$. Тогда

$$R\approx1{,}5\cdot10^{11}\cdot2{,}04\cdot10^8\approx3{,}05\cdot10^{19}\ \text{м}.$$

Шаг 5 — в световые годы. Световой год — это расстояние: свет за год проходит $c\cdot t=3\cdot10^8\cdot365\cdot24\cdot3600\approx3\cdot10^8\cdot3{,}15\cdot10^7\approx9{,}46\cdot10^{15}$ м. Значит,

$$R\approx\dfrac{3{,}05\cdot10^{19}}{9{,}46\cdot10^{15}}\approx3{,}2\cdot10^3\ \text{световых лет}.$$

Проверим себя. На найденном расстоянии поток слабее земного в $\left(\dfrac{R}{R_{\text{З}}}\right)^2\approx(2{,}04\cdot10^8)^2\approx4{,}2\cdot10^{16}$ раз — ровно во столько, во сколько мощность в зрачке у Земли превышает пороговую. Сходится. Это оценка: глаз и Солнце мы описали очень грубо, поэтому ответ имеет смысл лишь по порядку величины — около трёх тысяч световых лет.

Почему модель законна. Солнце на таком расстоянии — точечный источник, его свет распространяется прямолинейно и равномерно во все стороны; поглощения в межзвёздном пространстве нет (полная мощность не зависит от расстояния — так сказано в условии). Всё излучение по условию считаем светом одной длины волны $\lambda$.