Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048427

Что здесь происходит. Передний брусок $m_1$ тянут силой $6$ Н вперёд и вверх под углом $30^\circ$, а он на нити тащит задний брусок $m_2$. Оба скользят с трением и разгоняются. Нужно найти, с какой силой натянута нить.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную со столом (с Землёй), считаем инерциальной и применяем второй закон Ньютона. Бруски движутся поступательно — материальные точки. Нить невесомая, поэтому натяжение одинаково на обоих её концах: она тянет передний брусок назад и задний вперёд с одной и той же по модулю силой $T$. Нить нерастяжимая и не провисает, поэтому ускорения брусков одинаковы. Бруски скользят — на каждый действует трение скольжения $\mu N$ со своей силой нормальной реакции.

Рисунок сил. На $m_1$: $\vec F$ (вперёд-вверх под углом $\alpha$), $m_1\vec g$, реакция $\vec N_1$, натяжение $\vec T$ назад, трение назад. На $m_2$: натяжение $\vec T$ вперёд, $m_2\vec g$, реакция $\vec N_2$, трение назад.

Шаг 1 — силы реакции. Передний брусок частично приподнят силой $F$: $N_1=m_1g-F\sin\alpha=5-6\cdot0{,}5=2$ Н. Задний прижат только своим весом: $N_2=m_2g=2$ Н.

Шаг 2 — ускорение системы. Рассмотрим оба бруска вместе: натяжение — внутренняя сила системы, по горизонтали снаружи действуют проекция $F\cos\alpha$ и две силы трения:

$$(m_1+m_2)a=F\cos\alpha-\mu(m_1g-F\sin\alpha)-\mu m_2g.$$

Числа: $F\cos\alpha\approx6\cdot0{,}866=5{,}196$ Н, трение переднего $0{,}2\cdot2=0{,}4$ Н, заднего $0{,}2\cdot2=0{,}4$ Н:

$$a=\dfrac{5{,}196-0{,}4-0{,}4}{0{,}7}=\dfrac{4{,}396}{0{,}7}\approx6{,}28\ \text{м/с}^2.$$

Шаг 3 — натяжение из заднего бруска (на него действует меньше всего сил):

$$m_2a=T-\mu m_2g\quad\Rightarrow\quad T=m_2(a+\mu g)=0{,}2\cdot(6{,}28+2)\approx1{,}66\ \text{Н}.$$

В общем виде $a+\mu g=\dfrac{F(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)}{m_1+m_2}$, поэтому $T=\dfrac{F(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)m_2}{m_1+m_2}$.

Проверим себя. Подставим в уравнение для переднего бруска: $F\cos\alpha-T-\mu N_1=5{,}196-1{,}656-0{,}4=3{,}14$ Н, а $m_1a=0{,}5\cdot6{,}28=3{,}14$ Н — сходится. Натяжение положительно и меньше горизонтальной составляющей $F\cos\alpha\approx5{,}2$ Н: нить разгоняет только задний брусок, а сила $F$ — оба. Если бы сила $F$ была горизонтальной, натяжение было бы $\dfrac{Fm_2}{m_1+m_2}$ и от трения не зависело бы; при наклонной силе трение на натяжение влияет, потому что сила $F$ разгружает только передний брусок.

И нить действительно натянута: без неё передний брусок разгонялся бы с ускорением $\dfrac{F\cos\alpha-\mu N_1}{m_1}=\dfrac{5{,}196-0{,}4}{0{,}5}\approx9{,}6$ м/с², а задний только тормозился бы трением, $\mu g=2$ м/с². Передний убегал бы вперёд, поэтому нить всё время натянута и $T\gt0$.