Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048423

Что здесь происходит. Полотно поворота наклонено внутрь, и при скорости $108$ км/ч машину ведут по кругу одни лишь сила тяжести и реакция дороги. На большей скорости машину начинает тянуть наружу, и в дело вступает трение колёс. Ищем скорость, при которой трения уже не хватает.

Какие законы и почему. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной и пользуемся вторым законом Ньютона. Автомобиль — материальная точка: его размеры много меньше радиуса $250$ м. Скорость по модулю постоянна, траектория — горизонтальная окружность, поэтому ускорение центростремительное, $\dfrac{v^2}{R}$, горизонтально к центру. Пока колёса не скользят поперёк дороги, действует сила трения покоя; она может принимать любые значения до $\mu N$, и в момент начала скольжения равна $\mu N$. Условие говорит, что в этот момент у трения нет составляющей вдоль движения, — значит, вся сила $\mu N$ направлена поперёк дороги, вдоль склона.

Рисунок сил (поперечное сечение поворота). Сила тяжести $m\vec g$ вниз, реакция $\vec N$ перпендикулярно полотну, трение $\vec F_{\text{тр}}$ вдоль полотна вниз по склону — машину выносит наружу, вверх по склону, и трение этому мешает.

Шаг 1 — наклон полотна. В первом режиме трения нет: $N_0\cos\alpha=mg$, $N_0\sin\alpha=\dfrac{mv^2}{R}$, откуда $\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{v^2}{gR}$. Скорость $v=\dfrac{108}{3{,}6}=30$ м/с:

$$\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{30^2}{10\cdot250}=\dfrac{900}{2500}=0{,}36.$$

Шаг 2 — «полная» реакция дороги. Сложим силу реакции $\vec N$ и силу трения $\mu N$, направленную вниз по склону. Их сумма отклонена от перпендикуляра к полотну на угол $\varphi$, для которого $\mathrm{tg}\,\varphi=\dfrac{\mu N}{N}=\mu=0{,}7$. Перпендикуляр к полотну сам отклонён от вертикали на угол $\alpha$ в сторону центра, и трение отклоняет полную реакцию ещё дальше к центру. Итого полная реакция наклонена к вертикали на угол $\alpha+\varphi$.

Шаг 3 — второй закон Ньютона. Теперь на машину действуют две силы: тяжесть и полная реакция. Как в первом режиме, вертикальная часть полной реакции уравновешивает $mg$, а горизонтальная создаёт центростремительное ускорение:

$$\mathrm{tg}(\alpha+\varphi)=\dfrac{v_{\text{м}}^2}{gR},\qquad \mathrm{tg}(\alpha+\varphi)=\dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha+\mu}{1-\mu\,\mathrm{tg}\,\alpha}.$$

Шаг 4 — числа. $\dfrac{0{,}36+0{,}7}{1-0{,}7\cdot0{,}36}=\dfrac{1{,}06}{0{,}748}\approx1{,}417$.

$$v_{\text{м}}=\sqrt{1{,}417\cdot10\cdot250}\approx\sqrt{3543}\approx59{,}5\ \text{м/с}\approx214\ \text{км/ч}.$$

Проверим себя проекциями. По вертикали: $N\cos\alpha-\mu N\sin\alpha=mg$; по горизонтали: $N\sin\alpha+\mu N\cos\alpha=\dfrac{mv_{\text{м}}^2}{R}$. Делим одно на другое: $\dfrac{v_{\text{м}}^2}{gR}=\dfrac{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}{\cos\alpha-\mu\sin\alpha}$ — то же выражение. Сравнение с горизонтальной дорогой: там предельная скорость $\sqrt{\mu gR}=\sqrt{0{,}7\cdot10\cdot250}\approx41{,}8$ м/с — меньше, потому что на наклонном повороте к центру тянет ещё и горизонтальная часть реакции. Если же ошибочно направить трение вверх по склону, получится $\dfrac{v^2}{gR}=\dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha-\mu}{1+\mu\,\mathrm{tg}\,\alpha}\lt0$ — это формула для наименьшей скорости, при которой машина не сползает внутрь (здесь сползания нет ни при какой скорости), а не для выброса наружу.