Магнетизм — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048422

Что здесь происходит. По проводнику течёт ток, он находится в вертикальном магнитном поле — на него действует сила Ампера. Эта сила и тащит проводник вверх по наклонным рельсам, преодолевая составляющую силы тяжести и трение. Движение равномерное, значит, все силы уравновешены. Из этого равновесия найдём силу Ампера, а по ней — индукцию поля.

Дано: $m=14$ г $=0{,}014$ кг, $\alpha=30^\circ$, $L=40$ см $=0{,}4$ м, $I=3$ А, $\mu=0{,}2$, $g=10$ м/с². Найти: $B$.

Шаг 1 — силы и рисунок. На проводник действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec g$ (вниз), нормальная реакция рельсов $\vec N$ (перпендикулярно склону), сила трения скольжения $\vec F_{\text{тр}}$ (вдоль склона вниз — проводник едет вверх) и сила Ампера $\vec F_A$.

Шаг 2 — направление силы Ампера. Ток горизонтален (проводник лежит поперёк склона), поле вертикально. Сила Ампера перпендикулярна и току, и полю — значит, она горизонтальна. Чтобы проводник ехал вверх, она должна быть направлена в сторону подъёма склона. Её модуль $F_A=IBL$ (угол между током и полем $90^\circ$). Горизонтальная сила составляет со склоном угол $\alpha$: вдоль склона вверх действует её часть $F_A\cos\alpha$, а часть $F_A\sin\alpha$ направлена перпендикулярно склону, к рельсам.

Шаг 3 — проекция на нормаль к склону. Поперёк склона проводник не движется:

$$N=mg\cos\alpha+F_A\sin\alpha.$$

Сила Ампера прижимает проводник к рельсам, поэтому реакция больше, чем $mg\cos\alpha$, и трение $F_{\text{тр}}=\mu N$ тоже больше.

Шаг 4 — проекция вдоль склона. Движение равномерное, сумма проекций равна нулю (первый закон Ньютона):

$$F_A\cos\alpha=mg\sin\alpha+\mu(mg\cos\alpha+F_A\sin\alpha).$$

Собираем слагаемые с $F_A$ в левой части:

$$F_A(\cos\alpha-\mu\sin\alpha)=mg(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)\quad\Rightarrow\quad F_A=\dfrac{mg(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}{\cos\alpha-\mu\sin\alpha}.$$

Шаг 5 — числа. $\sin30^\circ=0{,}5$, $\cos30^\circ\approx0{,}866$:

$$F_A=\dfrac{0{,}014\cdot10\cdot(0{,}5+0{,}2\cdot0{,}866)}{0{,}866-0{,}2\cdot0{,}5}=\dfrac{0{,}14\cdot0{,}673}{0{,}766}\approx\dfrac{0{,}0942}{0{,}766}\approx0{,}123\ \text{Н}.$$

Шаг 6 — индукция. Из $F_A=IBL$:

$$B=\dfrac{F_A}{IL}=\dfrac{0{,}123}{3\cdot0{,}4}=\dfrac{0{,}123}{1{,}2}\approx0{,}10\ \text{Тл}.$$

Проверим себя. Вдоль склона вверх тянет $F_A\cos\alpha\approx0{,}123\cdot0{,}866\approx0{,}107$ Н. Вниз действуют $mg\sin\alpha=0{,}07$ Н и трение $\mu N=0{,}2\cdot(0{,}14\cdot0{,}866+0{,}123\cdot0{,}5)\approx0{,}2\cdot0{,}183\approx0{,}037$ Н, в сумме $0{,}107$ Н. Силы уравновешены — равномерное движение возможно.

Почему модель законна. Проводник движется поступательно, поэтому его можно считать материальной точкой и применять законы Ньютона в инерциальной системе отсчёта, связанной с рельсами. Прямоугольное сечение не даёт проводнику катиться — он скользит, и трение скольжения равно $\mu N$. Ток постоянный: ЭДС индукции, возникающая при движении проводника, уже учтена в том, что источник поддерживает ток $I=3$ А, а сила Ампера зависит только от тока.