Магнетизм — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048379

Что здесь происходит. Катушка висит на двух жёстких выводах, как качели. После замыкания ключа по проволоке идёт ток, и вертикальное магнитное поле действует на него силой Ампера. Эта сила горизонтальна и отводит «качели» от вертикали; отклонение остановится, когда моменты силы Ампера и силы тяжести уравновесятся. Значит, нужно найти обе силы — а для этого ток и массу катушки.

Дано: $2r=0{,}2$ мм ($r=0{,}1$ мм), $D=10$ мм $=0{,}01$ м, $N=1000$, $\mathcal{E}=9$ В, $B=1$ Тл, $\rho=0{,}0175\ \dfrac{\text{Ом}\cdot\text{мм}^2}{\text{м}}$, $P=8{,}92\cdot10^3$ кг/м³, $g=10$ м/с². Найти: угол $\alpha$.

Шаг 1 — на какие участки провода поле действует. По «Указанию» каждый виток — почти замкнутое кольцо. На замкнутый контур в однородном поле суммарная сила Ампера равна нулю: силы на противоположные дуги кольца гасят друг друга. Остаются короткие отрезки длиной $2r$, направленные вдоль оси катушки. Ток во всех них идёт в одну сторону — от одного вывода к другому, поэтому силы на них складываются. Их общая длина

$$l=N\cdot2r=1000\cdot0{,}2\ \text{мм}=200\ \text{мм}=0{,}2\ \text{м}.$$

Шаг 2 — направление силы. Отрезки горизонтальны, поле вертикально, угол между ними $90^\circ$. Сила Ампера $F=IBl$ перпендикулярна и току, и полю — она горизонтальна и перпендикулярна оси катушки. Такая сила отводит «качели» вбок.

Шаг 3 — длина и сечение проволоки. На каждый виток приходится окружность каркаса $\pi D$ и соединительный отрезок $2r$:

$$L=N(\pi D+2r)=1000\cdot(3{,}1416\cdot0{,}01+0{,}0002)=1000\cdot0{,}031616\approx31{,}6\ \text{м}.$$

Сечение считаем по радиусу проволоки: $s=\pi r^2=3{,}1416\cdot0{,}1^2\approx0{,}0314\ \text{мм}^2=3{,}14\cdot10^{-8}\ \text{м}^2$.

Шаг 4 — сопротивление и ток. Удельное сопротивление дано в $\dfrac{\text{Ом}\cdot\text{мм}^2}{\text{м}}$, поэтому длину подставляем в метрах, а сечение — в мм²:

$$R=\dfrac{\rho L}{s}=\dfrac{0{,}0175\cdot31{,}62}{0{,}0314}\approx17{,}6\ \text{Ом},\qquad I=\dfrac{\mathcal{E}}{R}=\dfrac{9}{17{,}6}\approx0{,}511\ \text{А}.$$

Батарейка идеальная, сопротивлением выводов пренебрегаем.

Шаг 5 — масса. Каркас очень лёгкий, значит, масса катушки — это масса меди. Обрати внимание: плотность обозначена буквой $P$, потому что $\rho$ уже занята удельным сопротивлением.

$$m=P\cdot Ls=8{,}92\cdot10^3\cdot31{,}62\cdot3{,}14\cdot10^{-8}\approx8{,}86\cdot10^{-3}\ \text{кг},\qquad mg\approx0{,}0886\ \text{Н}.$$

Шаг 6 — условие равновесия. Система поворачивается вокруг горизонтальной прямой через точки подвеса. Пусть длина выводов $h$. При отклонении на угол $\alpha$ от вертикали плечо силы тяжести равно $h\sin\alpha$, а плечо горизонтальной силы Ампера $h\cos\alpha$. Равновесие моментов:

$$F\cdot h\cos\alpha=mg\cdot h\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{F}{mg}=\dfrac{IBl}{mg}.$$

Шаг 7 — числа:

$$F=IBl=0{,}511\cdot1\cdot0{,}2\approx0{,}102\ \text{Н},\qquad\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{0{,}102}{0{,}0886}\approx1{,}15,\qquad\alpha\approx49^\circ.$$

Проверим себя. Сила Ампера вышла чуть больше веса катушки, значит, угол должен быть чуть больше $45^\circ$ (при равных силах было бы ровно $45^\circ$) — так и есть. Второй способ счёта: и ток, и масса зависят от длины и сечения проволоки, $\dfrac{mg}{I}=\dfrac{PLs\,g\cdot\rho L}{\mathcal{E}s}=\dfrac{P\rho L^2g}{\mathcal{E}}=\dfrac{8{,}92\cdot10^3\cdot1{,}75\cdot10^{-8}\cdot31{,}62^2\cdot10}{9}\approx0{,}173$ Н/А; тогда $\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{Bl}{mg/I}=\dfrac{0{,}2}{0{,}173}\approx1{,}15$ — то же самое.

Почему модель законна. Поле однородное и вертикальное. Витки — почти замкнутые контуры, суммарная сила на них равна нулю; их магнитный момент направлен вдоль оси катушки и стремится наклонить саму ось, но два жёстких вывода по концам этого не дают, на угол «качелей» он не влияет. Отклонённые выводы несут противоположные токи: силы на них направлены вдоль оси катушки в разные стороны и момента относительно линии подвеса не создают. Выводы и каркас лёгкие, батарейка идеальная.