Магнетизм — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048246

Что здесь происходит. Катушка висит на двух жёстких выводах, как качели. После замыкания ключа по проволоке идёт ток, и вертикальное магнитное поле действует на него силой Ампера. Если эта сила горизонтальна, она отводит «качели» от вертикали, пока её не уравновесит сила тяжести. По углу отклонения найдём силу Ампера, а по ней — индукцию поля.

Шаг 1 — на какие участки провода действует сила. Каждый виток в модели — плоское кольцо с разрезом. Кольцо почти замкнуто, а на замкнутый контур в однородном поле суммарная сила Ампера равна нулю: силы на противоположные дуги компенсируют друг друга. Остаются короткие отрезки $\Delta l=2r$, направленные вдоль оси катушки. Ток по ним везде идёт в одну сторону — от одного вывода к другому, поэтому силы на них складываются. Их суммарная длина

$$l=N\cdot2r=800\cdot0{,}3\ \text{мм}=240\ \text{мм}=0{,}24\ \text{м}.$$

Шаг 2 — направление силы. Отрезки горизонтальны (вдоль оси), поле вертикально, угол между ними $90^\circ$. Сила Ампера $F=IBl$ перпендикулярна и току, и полю — она горизонтальна и перпендикулярна оси катушки. Именно такая сила и отклоняет «качели» вбок.

Шаг 3 — условие равновесия. Выводы жёсткие и лёгкие, вся система поворачивается вокруг горизонтальной прямой через точки подвеса. Пусть длина выводов $h$. Моменты силы тяжести $mg$ и горизонтальной силы $F$ относительно этой прямой при отклонении на угол $\alpha$: $mg\cdot h\sin\alpha$ и $F\cdot h\cos\alpha$. Равновесие:

$$F\cdot h\cos\alpha=mg\cdot h\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad IBl=mg\,\mathrm{tg}\,\alpha\quad\Rightarrow\quad B=\dfrac{mg\,\mathrm{tg}\,\alpha}{Il}.$$

Остаётся найти массу катушки $m$ и ток $I$ — оба определяются проволокой.

Шаг 4 — длина и сечение проволоки. На каждый виток приходится окружность каркаса $\pi D$ и соединительный отрезок $2r$:

$$L=N(\pi D+2r)=800\cdot(3{,}1416\cdot0{,}02+0{,}0003)=800\cdot0{,}06313\approx50{,}5\ \text{м}.$$

Площадь сечения считаем по радиусу проволоки $r=0{,}15$ мм (а не по диаметру $0{,}3$ мм): $s=\pi r^2=3{,}1416\cdot0{,}15^2\approx0{,}0707\ \text{мм}^2=7{,}07\cdot10^{-8}\ \text{м}^2$.

Шаг 5 — сопротивление и ток. Удельное сопротивление дано в $\dfrac{\text{Ом}\cdot\text{мм}^2}{\text{м}}$, поэтому длину берём в метрах, а сечение — в мм²:

$$R=\dfrac{\rho L}{s}=\dfrac{0{,}0175\cdot50{,}5}{0{,}0707}\approx12{,}5\ \text{Ом},\qquad I=\dfrac{\mathcal{E}}{R}=\dfrac{12}{12{,}5}\approx0{,}96\ \text{А}.$$

Батарейка идеальная, сопротивлением выводов пренебрегаем — ток определяется только обмоткой.

Шаг 6 — масса. Каркас очень лёгкий, значит, масса катушки — это масса меди:

$$m=P\cdot Ls=8{,}92\cdot10^3\cdot50{,}5\cdot7{,}07\cdot10^{-8}\approx3{,}18\cdot10^{-2}\ \text{кг}\approx32\ \text{г}.$$

Шаг 7 — индукция. При $\alpha=45^\circ$ тангенс равен $1$, $g=10\ \text{м/с}^2$:

$$B=\dfrac{mg\,\mathrm{tg}\,\alpha}{Il}=\dfrac{0{,}0318\cdot10\cdot1}{0{,}96\cdot0{,}24}=\dfrac{0{,}318}{0{,}230}\approx1{,}4\ \text{Тл}.$$

Проверим себя вторым способом. В отношение $\dfrac{mg}{I}$ сечение проволоки входит дважды и выпадает: $\dfrac{mg}{I}=\dfrac{PLs\,g\cdot\rho L}{\mathcal{E}s}=\dfrac{P\rho L^2g}{\mathcal{E}}=\dfrac{8{,}92\cdot10^3\cdot1{,}75\cdot10^{-8}\cdot50{,}5^2\cdot10}{12}\approx0{,}332$ Н/А. Тогда $B=\dfrac{0{,}332}{0{,}24}\approx1{,}38$ Тл — то же самое.

Почему модель законна. Поле однородное и вертикальное. Витки — почти замкнутые контуры, суммарная сила на них равна нулю; их магнитный момент направлен вдоль оси и стремится наклонить ось катушки, но два жёстких вывода по концам этого не дают, и на угол «качелей» этот момент не влияет. Отклонённые выводы несут противоположные токи: силы на них направлены вдоль оси катушки в разные стороны и момента относительно линии подвеса не создают. Выводы и каркас лёгкие, батарейка идеальная.