Магнетизм — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048121

Что здесь происходит. На рисунке конструкция видна сбоку, вдоль оси $O$: рамка — горизонтальная полоска, от её центра вниз висит штанга с грузиком, поле $\vec B$ направлено горизонтально. Пока тока нет, грузик висит вертикально вниз и рамка горизонтальна. Когда по рамке пустили ток, магнитные силы создали вращающий момент, рамка повернулась и потащила за собой штангу — грузик отклонился в сторону, и его сила тяжести стала создавать возвращающий момент. В новом положении эти моменты уравновесились.

Данные в СИ: сторона рамки $2a=0{,}24$ м (значит, $a=0{,}12$ м), $l=0{,}12$ м, $m=0{,}15$ кг, $B=0{,}8$ Тл, $\alpha=40^\circ$, $g=10$ м/с².

Шаг 1 — какие стороны рамки «работают». Две стороны рамки параллельны оси, ток в них перпендикулярен $\vec B$, на каждую действует сила Ампера $F=I\cdot2a\cdot B$. Токи в них противоположны, поэтому и силы противоположны — по правилу левой руки обе вертикальны (одна вверх, другая вниз) и образуют пару сил. Две другие стороны пересекаются осью посередине; силы на них (если они есть) направлены вдоль оси и вращения вокруг неё не создают.

Шаг 2 — момент магнитных сил. Рабочие стороны удалены от оси на $a$. Вертикальные силы при повороте рамки направления не меняют, а плечо каждой — горизонтальное расстояние от оси — становится $a\cos\alpha$. Момент пары:

$$M_{\text{А}}=2\cdot F\cdot a\cos\alpha=2\cdot I\cdot2a\cdot B\cdot a\cos\alpha=4a^2IB\cos\alpha.$$

(Это то же, что формула $M=ISB\sin\varphi$ для рамки площадью $S=(2a)^2$: угол между нормалью к рамке и полем был $90^\circ$, а стал $90^\circ-\alpha$.)

Шаг 3 — момент силы тяжести. Штанга перпендикулярна рамке и повернулась вместе с ней на угол $\alpha$ от вертикали. Плечо силы тяжести грузика — горизонтальное расстояние от оси: $l\sin\alpha$. Момент $M_{\text{т}}=mgl\sin\alpha$. Рамка и штанга лёгкие или симметричные относительно оси, поэтому других моментов нет.

Шаг 4 — условие равновесия (сумма моментов относительно оси равна нулю):

$$4a^2IB\cos\alpha=mgl\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad I=\dfrac{mgl\,\mathrm{tg}\,\alpha}{4a^2B}.$$

Шаг 5 — числа: $4a^2=(2a)^2=0{,}24^2=0{,}0576$ м², $\mathrm{tg}\,40^\circ\approx0{,}839$.

$$I=\dfrac{0{,}15\cdot10\cdot0{,}12\cdot0{,}839}{0{,}0576\cdot0{,}8}=\dfrac{0{,}151}{0{,}0461}\approx3{,}3\ \text{А}.$$

Проверим себя. Почему положение равновесия вообще существует: при повороте магнитный момент убывает (как $\cos\alpha$), а момент тяжести растёт (как $\sin\alpha$) — где-то они обязательно сравняются. Чем больше ток, тем больше угол; повернуть на $90^\circ$ не удастся никаким током — в формуле $\mathrm{tg}\,\alpha\to\infty$. И размерность: $\dfrac{\text{кг}\cdot\text{м/с}^2\cdot\text{м}}{\text{м}^2\cdot\text{Тл}}=\dfrac{\text{Н}}{\text{м}\cdot\text{Тл}}=\text{А}$.

Почему модель законна. Рамка жёсткая, штанга лёгкая, грузик маленький — материальная точка; поле однородное, поэтому сила Ампера на прямую сторону $F=IBL$; гибкие провода не создают моментов; ось неподвижна, подшипники без трения — применимо условие равновесия твёрдого тела (правило моментов) относительно оси.