Магнетизм — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048250

Что здесь происходит. Проводник лежит поперёк рельсов, по нему идёт ток, и вертикальное магнитное поле действует на него силой Ампера. Эта сила затаскивает проводник вверх по склону, а сила тяжести и трение мешают. Движение равномерное — значит, все силы уравновешены. Хитрость задачи в том, что поле вертикальное, а не перпендикулярное склону, поэтому сила Ампера направлена не вдоль склона.

Дано (в СИ): $B=0{,}5$ Тл, $m=20\ \text{г}=0{,}02$ кг, $\alpha=30^\circ$, $L=50\ \text{см}=0{,}5$ м, $\eta=0{,}4$ — коэффициент трения (не КПД), $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $I$.

Шаг 1 — сила Ампера. Ток горизонтален (проводник лежит поперёк склона), поле вертикально, угол между ними $90^\circ$, поэтому $F_A=IBL$. Сила перпендикулярна и току, и полю — значит, она горизонтальна и лежит в вертикальной плоскости, проходящей вдоль рельсов. Чтобы проводник ехал вверх, ток должен течь так, чтобы она смотрела «в гору».

Рисунок сил (в вертикальной плоскости вдоль рельсов): сила тяжести $m\vec g$ вертикально вниз, сила реакции $\vec N$ перпендикулярно склону, сила трения $\vec F_{\text{тр}}$ вдоль склона вниз (проводник едет вверх), сила Ампера $\vec F_A$ горизонтально в сторону подъёма.

Шаг 2 — проекции. Ось $x$ направим вдоль склона вверх, ось $y$ — перпендикулярно склону. Горизонтальная сила Ампера составляет со склоном угол $\alpha$: вдоль склона даёт $F_A\cos\alpha$, а поперёк — $F_A\sin\alpha$, причём эта составляющая вдавливает проводник в рельсы. Сила тяжести даёт $mg\sin\alpha$ вдоль склона вниз и $mg\cos\alpha$ в склон.

По оси $y$ ускорения нет:

$$N=mg\cos\alpha+F_A\sin\alpha.$$

Сила трения скольжения $F_{\text{тр}}=\eta N$ — больше привычного $\eta mg\cos\alpha$, потому что поле «прижимает» проводник.

Шаг 3 — равномерное движение вдоль склона:

$$F_A\cos\alpha=mg\sin\alpha+\eta\,(mg\cos\alpha+F_A\sin\alpha).$$

Собираем слагаемые с $F_A$ слева:

$$F_A(\cos\alpha-\eta\sin\alpha)=mg(\sin\alpha+\eta\cos\alpha)\quad\Rightarrow\quad I=\dfrac{mg(\sin\alpha+\eta\cos\alpha)}{BL(\cos\alpha-\eta\sin\alpha)}.$$

Шаг 4 — числа. $mg=0{,}02\cdot10=0{,}2$ Н; $\sin30^\circ=0{,}5$, $\cos30^\circ\approx0{,}866$.

Числитель: $0{,}2\cdot(0{,}5+0{,}4\cdot0{,}866)=0{,}2\cdot0{,}846\approx0{,}169$ Н.

Знаменатель: $0{,}5\cdot0{,}5\cdot(0{,}866-0{,}4\cdot0{,}5)=0{,}25\cdot0{,}666\approx0{,}167$ Тл·м.

$$I=\dfrac{0{,}169}{0{,}167}\approx1{,}0\ \text{А}.$$

Заметь: проводник движется в поле, и в нём наводится ЭДС индукции, но это не мешает решению — сила Ампера зависит только от тока, который реально течёт, а спрашивают именно его.

Проверим себя. При $I=1{,}0$ А сила Ампера $F_A=0{,}25$ Н (точнее $0{,}254$ Н). Прижатие $N=0{,}2\cdot0{,}866+0{,}254\cdot0{,}5\approx0{,}300$ Н, трение $0{,}4\cdot0{,}300=0{,}120$ Н. Вдоль склона вверх: $0{,}254\cdot0{,}866\approx0{,}220$ Н; вниз: $0{,}2\cdot0{,}5+0{,}120=0{,}220$ Н — равны. Ещё одна проверка смысла: затащить проводник вверх можно, только пока $\cos\alpha-\eta\sin\alpha\gt0$, то есть $\eta\lt\mathrm{ctg}\,\alpha\approx1{,}73$; у нас $0{,}4$ — условие выполнено.

Почему модель законна. Проводник движется поступательно — его можно считать материальной точкой; поле однородное, ток постоянный, поэтому сила Ампера постоянна; трение — сухое трение скольжения $\eta N$; движение равномерное, сумма сил равна нулю (первый закон Ньютона в ИСО, связанной с Землёй).