Магнетизм — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048378

Что здесь происходит. Источник подключён к концам диагонали $KM$, поэтому ток от $K$ к $M$ может пройти тремя путями: по сторонам $KL$ и $LM$, по сторонам $KN$ и $NM$ и прямо по диагонали. Все три пути — это проволока с током в магнитном поле, и на каждый участок, не параллельный полю, действует сила Ампера. Нужно найти токи, а потом сложить силы.

Дано: $\rho=110\cdot10^{-8}\ \text{Ом}\cdot\text{м}$, $S=0{,}2$ мм² $=0{,}2\cdot10^{-6}$ м², $l_1=0{,}3$ м, $l_2=0{,}4$ м, $\mathcal{E}=3$ В, $B=0{,}35$ Тл. Найти: модуль результирующей силы $F$.

Шаг 1 — сопротивление одного метра проволоки. По формуле $R=\rho\dfrac{l}{S}$ на каждый метр приходится

$$\dfrac{\rho}{S}=\dfrac{110\cdot10^{-8}}{0{,}2\cdot10^{-6}}=5{,}5\ \text{Ом/м}.$$

Шаг 2 — длины и сопротивления путей. Путь $KLM$ и путь $KNM$ одинаковы: $l_1+l_2=0{,}7$ м, сопротивление каждого $R_1=5{,}5\cdot0{,}7=3{,}85$ Ом. Диагональ по теореме Пифагора: $KM=\sqrt{0{,}3^2+0{,}4^2}=0{,}5$ м, её сопротивление $R_3=5{,}5\cdot0{,}5=2{,}75$ Ом.

Шаг 3 — токи. Внутреннего сопротивления у источника нет, поэтому каждый из трёх путей, подключённых к точкам $K$ и $M$, находится под полным напряжением $\mathcal{E}$. По закону Ома для участка:

$$I_1=I_2=\dfrac{\mathcal{E}}{R_1}=\dfrac{3}{3{,}85}\approx0{,}779\ \text{А},\qquad I_3=\dfrac{\mathcal{E}}{R_3}=\dfrac{3}{2{,}75}\approx1{,}091\ \text{А}.$$

Шаг 4 — на какие участки действует сила. Сила Ампера $F=IBl\sin\alpha$, где $\alpha$ — угол между током и полем. Поле параллельно сторонам $KN$ и $LM$, значит, на них $\sin\alpha=0$ и силы нет. Стороны $KL$ и $NM$ перпендикулярны полю: на каждую действует сила $I_1Bl_1$. Диагональ $KM$ наклонена к полю, у неё работает только часть длины, поперечная полю: $KM\cdot\sin\alpha=l_1$. Поэтому сила на диагональ $I_3Bl_1$.

Шаг 5 — направления. На рисунке поле направлено вниз, ток идёт от $K$ к $M$ (плюс источника — длинная тонкая черта — соединён с точкой $K$). В стороне $KL$ ток идёт от $K$ к $L$, в стороне $NM$ — от $N$ к $M$, в диагонали — от $K$ к $M$: у всех трёх токов поперечная полю часть направлена на рисунке слева направо. По правилу левой руки (линии поля входят в ладонь, четыре пальца по току) все три силы направлены перпендикулярно плоскости контура в одну сторону — от нас, за плоскость рисунка. Значит, их модули складываются.

Шаг 6 — результирующая сила:

$$F=Bl_1(2I_1+I_3)=0{,}35\cdot0{,}3\cdot(2\cdot0{,}779+1{,}091)=0{,}105\cdot2{,}649\approx0{,}28\ \text{Н}.$$

Рисунок. Удобно изобразить контур сбоку (смотрим вдоль стороны $KL$): тогда видно, что на стороны $KL$, $NM$ и на диагональ $KM$ действуют силы, перпендикулярные плоскости контура и направленные в одну сторону, а на стороны $KN$ и $LM$ сил нет.

Проверим себя другим способом. В однородном поле сила на любой провод, идущий из $K$ в $M$, равна силе на прямой отрезок $KM$ с тем же током. У всех трёх путей этот отрезок общий, поэтому результирующая сила равна силе на отрезок $KM$ с полным током источника $I=2I_1+I_3\approx2{,}649$ А: $F=IBl_1=2{,}649\cdot0{,}35\cdot0{,}3\approx0{,}28$ Н — то же самое.

Почему модель законна. Поле однородное, источник идеальный, сопротивлением соединений в точках $K$ и $M$ пренебрегаем. Подводящие провода к контуру не относятся — спрашивают силу, действующую на сам контур.