Магнетизм — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048118

Что здесь происходит. Сначала протон разгоняется электрическим полем (на рисунке слева — линии $\vec E$), потом попадает в полосу магнитного поля шириной $h$ (крестики — поле направлено от нас). В магнитном поле сила Лоренца поворачивает протон, и он движется по дуге окружности. Если поворот достаточно крутой, протон развернётся внутри полосы и вылетит обратно, так и не добравшись до дальней границы.

Данные в СИ: $U=174$ В, $h=0{,}04$ м; справочные: $e=1{,}6\cdot10^{-19}$ Кл, $m=1{,}67\cdot10^{-27}$ кг.

Шаг 1 — скорость после разгона. Протон начинает разгон из покоя, работа электрического поля $eU$ целиком переходит в кинетическую энергию (теорема о кинетической энергии). Важна только разность потенциалов — ни напряжённость, ни длина участка разгона не нужны:

$$eU=\dfrac{mv^2}{2}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\dfrac{2eU}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot174}{1{,}67\cdot10^{-27}}}=\sqrt{3{,}33\cdot10^{10}}\approx1{,}83\cdot10^5\ \text{м/с}.$$

Шаг 2 — радиус дуги. В магнитном поле скорость перпендикулярна $\vec B$, сила Лоренца $evB$ перпендикулярна скорости и играет роль центростремительной (второй закон Ньютона):

$$evB=\dfrac{mv^2}{R}\quad\Rightarrow\quad R=\dfrac{mv}{eB}.$$

Чем больше индукция, тем меньше радиус — тем круче поворот.

Шаг 3 — геометрия. По рисунку линии $\vec E$ перпендикулярны границе магнитной области, поэтому разогнанный протон влетает в поле перпендикулярно границе. Тогда центр его окружности лежит прямо на границе, и самая дальняя точка дуги находится на глубине $R$ от границы. Протон описывает полуокружность и вылетает обратно, если $R\le h$. Наименьшая индукция соответствует случаю, когда протон «чиркает» по дальней границе: $R=h$.

Шаг 4 — считаем:

$$B_{\min}=\dfrac{mv}{eh}=\dfrac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot1{,}83\cdot10^5}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}04}=\dfrac{3{,}05\cdot10^{-22}}{6{,}4\cdot10^{-21}}\approx4{,}77\cdot10^{-2}\ \text{Тл}\approx47{,}7\ \text{мТл}.$$

В общем виде $B_{\min}=\dfrac{1}{h}\sqrt{\dfrac{2mU}{e}}$.

Проверим себя. Обратный счёт: при $B=0{,}0477$ Тл радиус $R=\dfrac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot1{,}83\cdot10^5}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}0477}\approx0{,}040$ м — ровно ширина полосы. Куда именно повернёт протон (вверх или вниз по рисунку), на глубину захода не влияет — важен только радиус.

Почему модель законна. Протон — материальная точка, его скорость много меньше скорости света, поэтому применимы $\dfrac{mv^2}{2}$, второй закон Ньютона и формула силы Лоренца; поле в полосе однородное, на границах обрывается резко; силой тяжести пренебрегаем (так сказано в условии), сила Лоренца работы не совершает, поэтому в магнитной области скорость по модулю постоянна и траектория — дуга окружности.