Магнетизм — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048296

Что здесь происходит. Прибор работает в два этапа. Сначала «фильтр скоростей» пропускает по прямой только ионы с одной определённой скоростью. Затем в отклоняющем магнитном поле ионы описывают полуокружности: чем больше масса, тем больше радиус, поэтому ионы разной массы попадают в разные точки $S_1$ и $S_2$. Расстояние между этими точками и нужно найти.

Дано: $m_1=20$ а.е.м., $m_2=22$ а.е.м., заряд каждого иона $q=e$ (ионизированы однократно — потеряли один электрон), $E$ и $B$ — поля фильтра, $\vec{E}\perp\vec{B}$, $B_0$ — индукция отклоняющего поля, ионы проходят половину оборота. Найти: $\Delta S=S_1S_2$.

Шаг 1 — фильтр скоростей. На ион в фильтре действуют электрическая сила $eE$ и сила Лоренца $evB$. Поля взаимно перпендикулярны и перпендикулярны скорости, а силы направлены навстречу друг другу. Ион летит по прямой и проходит в щель, только если силы уравновешены (второй закон Ньютона: ускорения нет):

$$eE=evB\quad\Rightarrow\quad v=\dfrac{E}{B}.$$

Масса в это условие не входит — поэтому оба изотопа выходят из фильтра с одной и той же скоростью.

Шаг 2 — движение в отклоняющем поле. Скорость перпендикулярна $\vec{B}_0$, сила Лоренца перпендикулярна скорости и работы не совершает, модуль скорости постоянен, ион движется по окружности. Сила Лоренца сообщает центростремительное ускорение:

$$evB_0=\dfrac{mv^2}{R}\quad\Rightarrow\quad R=\dfrac{mv}{eB_0}=\dfrac{mE}{eBB_0}.$$

Шаг 3 — точки попадания. Ион входит перпендикулярно пластине и проходит половину окружности, поэтому попадает на пластину на расстоянии диаметра $2R$ от входной щели. Тяжёлый ион ($m_2$) летит по большей окружности и попадает дальше — в точку $S_2$, лёгкий — в $S_1$:

$$\Delta S=2R_2-2R_1=\dfrac{2E(m_2-m_1)}{eBB_0}.$$

Шаг 4 — числовой множитель. Разность масс $m_2-m_1=2$ а.е.м. $=2\cdot1{,}66\cdot10^{-27}=3{,}32\cdot10^{-27}$ кг, $e=1{,}6\cdot10^{-19}$ Кл:

$$\Delta S=\dfrac{2\cdot3{,}32\cdot10^{-27}}{1{,}6\cdot10^{-19}}\cdot\dfrac{E}{BB_0}\approx4{,}15\cdot10^{-8}\cdot\dfrac{E}{BB_0}\ \text{м}.$$

Числовых значений $E$, $B$ и $B_0$ в условии нет, поэтому ответ записываем в общем виде.

Проверим себя. Размерность: $\dfrac{\text{В/м}\cdot\text{кг}}{\text{Кл}\cdot\text{Тл}\cdot\text{Тл}}$. Поскольку $\dfrac{E}{B}$ — скорость (м/с), а $\dfrac{m\,v}{eB_0}$ — радиус, получаются метры. Расстояние растёт с напряжённостью $E$ (быстрее ионы — шире дуги) и убывает с ростом $B_0$ (сильнее поле — круче поворот) — так и должно быть.

Почему модель законна. Ионы считаем материальными точками, силой тяжести пренебрегаем (она ничтожна по сравнению с электрическими и магнитными силами), поля однородны, скорость много меньше скорости света, взаимодействием ионов друг с другом пренебрегаем.