Магнетизм — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048160

Что здесь происходит. Катушка гальванометра — это много одинаковых прямоугольных витков, висящих на проводах; повернуться она может вокруг вертикальной оси. Поле горизонтальное. Когда по виткам идёт ток, магнитное поле действует на стороны витков, и возникает вращающий момент. По известному моменту нужно найти, сколько витков в катушке.

Данные в СИ: $a=0{,}02$ м (горизонтальная сторона), $b=0{,}03$ м (вертикальная, более длинная), $B=0{,}1$ Тл, $I=0{,}1$ мкА $=10^{-7}$ А, $M=0{,}9\cdot10^{-9}$ Н·м, $\varphi=60^\circ$.

Шаг 1 — какие стороны создают момент. Вертикальные стороны перпендикулярны горизонтальному полю, на каждую сторону одного витка действует сила Ампера $F_1=IbB$. Эта сила горизонтальна и перпендикулярна $\vec B$; при повороте катушки вокруг вертикали она не меняется — вертикальный ток всегда перпендикулярен горизонтальному полю, меняется только плечо. Токи в двух вертикальных сторонах противоположны, поэтому силы образуют пару. Силы на горизонтальные стороны направлены вертикально (вдоль оси подвеса) и вокруг вертикальной оси катушку не поворачивают.

Шаг 2 — плечо пары. Расстояние между вертикальными сторонами — $a$. Силы направлены перпендикулярно полю, поэтому плечо пары — это проекция отрезка $a$ на направление, перпендикулярное силам, то есть на направление поля. Плоскость катушки (а с ней и отрезок $a$) составляет с полем угол $\varphi$, значит плечо $a\cos\varphi$.

Шаг 3 — момент всей катушки. Момент пары на один виток $F_1\cdot a\cos\varphi=IabB\cos\varphi$, а витков $N$, и их моменты складываются:

$$M=NIabB\cos\varphi.$$

(Это та же формула $M=NIBS\sin\beta$, где $S=ab$, а $\beta=90^\circ-\varphi$ — угол между нормалью к катушке и полем.)

Шаг 4 — число витков:

$$N=\dfrac{M}{IabB\cos\varphi}=\dfrac{0{,}9\cdot10^{-9}}{10^{-7}\cdot0{,}02\cdot0{,}03\cdot0{,}1\cdot0{,}5}.$$

Знаменатель: $10^{-7}\cdot6\cdot10^{-4}\cdot0{,}1\cdot0{,}5=3\cdot10^{-12}$. Тогда $N=\dfrac{0{,}9\cdot10^{-9}}{3\cdot10^{-12}}=300$.

Проверим себя. Сила на одну вертикальную сторону всей катушки $NIbB=300\cdot10^{-7}\cdot0{,}03\cdot0{,}1=9\cdot10^{-8}$ Н, плечо $a\cos60^\circ=0{,}01$ м, момент $9\cdot10^{-10}=0{,}9\cdot10^{-9}$ Н·м — как в условии. По смыслу: если плоскость катушки параллельна полю ($\varphi=0$), момент наибольший; если перпендикулярна ($\varphi=90^\circ$), момента нет — формула с $\cos\varphi$ это даёт.

Почему модель законна. Поле однородное, поэтому сила Ампера на прямую сторону $F=IbB$ и силы на противоположные стороны равны по модулю — получается пара сил, момент которой не зависит от положения оси; витки одинаковые и лежат в одной плоскости, поэтому их моменты просто складываются; провод тонкий, размеры витка совпадают с размерами каркаса.