Э/М Индукция — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048419

Что здесь происходит. Катушка стоит в магнитном поле, и это поле начинают менять. Магнитный поток через витки меняется — по закону Фарадея в катушке возникает ЭДС индукции. Катушка замкнута на резистор, по нему течёт ток, и резистор греется. Нужно найти, сколько тепла выделится за время от $t=0$ до $t=\tau/2=10$ с.

Дано: $S=50$ см² $=5\cdot10^{-3}$ м², $N=1000$, $B_0=1{,}2$ Тл, $R=1$ кОм $=1000$ Ом, $\tau=20$ с, время $t=\tau/2=10$ с. Найти: $Q$.

Шаг 1 — поток через один виток. Поле направлено вдоль оси катушки, то есть перпендикулярно плоскости каждого витка. Угол между вектором $\vec B$ и нормалью к витку равен нулю, $\cos0=1$, поэтому поток через виток $\Phi_1=BS$.

Шаг 2 — как быстро меняется поле. По закону из условия индукция убывает по прямой: каждую секунду она уменьшается на одно и то же значение

$$\left|\dfrac{\Delta B}{\Delta t}\right|=\dfrac{2B_0}{\tau}=\dfrac{2\cdot1{,}2}{20}=0{,}12\ \text{Тл/с}.$$

Обрати внимание на двойку: за время $\tau/2$ поле уменьшается на всё $B_0$, а не на половину.

Шаг 3 — ЭДС индукции. Витки соединены друг за другом, ЭДС всех $N$ витков складываются. По закону Фарадея:

$$\mathcal{E}=N\left|\dfrac{\Delta\Phi_1}{\Delta t}\right|=NS\cdot\dfrac{2B_0}{\tau}=1000\cdot5\cdot10^{-3}\cdot0{,}12=0{,}6\ \text{В}.$$

Скорость изменения поля постоянна, значит, и ЭДС постоянна всё это время. В момент $t=\tau/2$ индукция как раз проходит через ноль, но ЭДС от этого не исчезает: она зависит не от самой индукции, а от быстроты её изменения.

Шаг 4 — ток. Сопротивлением катушки пренебрегаем, поэтому вся ЭДС приложена к резистору. По закону Ома:

$$I=\dfrac{\mathcal{E}}{R}=\dfrac{0{,}6}{1000}=6\cdot10^{-4}\ \text{А}.$$

Шаг 5 — теплота. Ток постоянный, поэтому закон Джоуля — Ленца можно применить сразу ко всему интервалу:

$$Q=I^2R\cdot\dfrac{\tau}{2}=(6\cdot10^{-4})^2\cdot1000\cdot10=3{,}6\cdot10^{-7}\cdot10^4=3{,}6\cdot10^{-3}\ \text{Дж}.$$

В общем виде: $Q=\dfrac{\mathcal{E}^2}{R}\cdot\dfrac{\tau}{2}=\dfrac{4N^2S^2B_0^2}{R\tau^2}\cdot\dfrac{\tau}{2}=\dfrac{2N^2S^2B_0^2}{R\tau}$.

Проверим себя через заряд. За $10$ с через резистор прошёл заряд $q=It=6\cdot10^{-4}\cdot10=6\cdot10^{-3}$ Кл. С другой стороны, заряд равен изменению потокосцепления, делённому на сопротивление: поле упало от $1{,}2$ Тл до нуля, $q=\dfrac{NS\Delta B}{R}=\dfrac{1000\cdot5\cdot10^{-3}\cdot1{,}2}{1000}=6\cdot10^{-3}$ Кл. Совпало. И при постоянном токе $Q=\dfrac{q^2R}{t}=\dfrac{36\cdot10^{-6}\cdot1000}{10}=3{,}6\cdot10^{-3}$ Дж.

Почему модель законна. Поле однородное, поэтому поток через каждый виток одинаков. Сопротивлением катушки пренебрегаем по условию. Ток в цепи постоянный, поэтому ЭДС самоиндукции катушки не возникает (кроме мгновенного установления тока в начале, которым пренебрегаем) — вся энергия, поступающая в цепь, выделяется теплом в резисторе.