Э/М Индукция — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048245

Что здесь происходит. Кольцо закреплено, поле постоянное — поток сквозь само кольцо не меняется. Зато перемычка вращается и движется поперёк линий поля: свободные электроны в ней движутся вместе с ней, сила Лоренца гонит их вдоль перемычки. Значит, источник тока — сама перемычка. Цепь «шарнир → перемычка → кольцо → провод → амперметр → шарнир» замкнута, и по ней идёт ток.

Данные в СИ: $r=15\ \text{см}=0{,}15$ м, $B=0{,}34$ Тл, $\omega=314\ \text{с}^{-1}$ (это угловая скорость, на $2\pi$ её больше не умножаем), $R=1{,}5$ Ом.

Шаг 1 — ЭДС перемычки. Посчитаем по закону Фарадея через площадь, которую перемычка «заметает». За малое время $\Delta t$ она поворачивается на угол $\Delta\varphi=\omega\Delta t$ и проходит сектор круга площадью $\Delta S=\dfrac{1}{2}r^2\Delta\varphi$. Поле перпендикулярно плоскости кольца, поэтому магнитный поток через этот сектор $\Delta\Phi=B\Delta S$. ЭДС — скорость изменения потока:

$$\mathcal{E}=\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}=\dfrac{B\cdot\frac{1}{2}r^2\omega\Delta t}{\Delta t}=\dfrac{B\omega r^2}{2}.$$

Тот же результат даёт формула ЭДС движущегося проводника $\mathcal{E}=Blv$: точки перемычки движутся с разными скоростями — от нуля у шарнира до $\omega r$ у кольца, скорость растёт вдоль перемычки равномерно, поэтому в формулу идёт средняя скорость $\dfrac{\omega r}{2}$, а длина $l=r$: $\mathcal{E}=Br\cdot\dfrac{\omega r}{2}$.

Шаг 2 — числа. Сначала $0{,}34\cdot314=106{,}76$, затем $r^2=0{,}15^2=0{,}0225\ \text{м}^2$:

$$\mathcal{E}=\dfrac{106{,}76\cdot0{,}0225}{2}=\dfrac{2{,}402}{2}\approx1{,}20\ \text{В}.$$

Шаг 3 — ток. В любом положении перемычка за равные промежутки времени заметает равные площади, поэтому ЭДС постоянна и ток постоянный — амперметр показывает одно значение. По закону Ома для полной цепи, где $R$ — сопротивление всей цепи:

$$I=\dfrac{\mathcal{E}}{R}=\dfrac{B\omega r^2}{2R}=\dfrac{1{,}201}{1{,}5}\approx0{,}80\ \text{А}.$$

Проверим себя энергией. На перемычку с током действует сила Ампера $F=IBr$, приложенная к её середине, то есть на плече $\dfrac{r}{2}$ от оси. Чтобы вращать перемычку равномерно, внешняя сила должна тратить мощность $M\omega=IBr\cdot\dfrac{r}{2}\cdot\omega=0{,}8\cdot0{,}34\cdot0{,}0225\cdot\dfrac{314}{2}\approx0{,}96$ Вт. Тепловая мощность в цепи $I^2R=0{,}8^2\cdot1{,}5=0{,}96$ Вт — совпала, энергия сходится. Единицы: $\text{Тл}\cdot\text{с}^{-1}\cdot\text{м}^2=\text{В}$, $\dfrac{\text{В}}{\text{Ом}}=\text{А}$.

Почему модель законна. Поле однородное и перпендикулярно плоскости вращения, поэтому поток через сектор равен $B\Delta S$; кольцо хорошо проводящее, а все сопротивления цепи уже собраны в $R$; перемычка вращается равномерно, самоиндукцией цепи пренебрегаем — ток постоянный, и к нему применим закон Ома для полной цепи.