Э/М Индукция — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048247

Что здесь происходит. Стержни вместе с рельсами образуют замкнутый контур. Первый стержень тянут силой $F$, второй никто не тянет — и всё же он едет. Значит, по контуру идёт индукционный ток, и поле действует на второй стержень силой Ампера, которая тянет его вслед за первым. Ток возникает потому, что стержни едут с разными скоростями: расстояние между ними растёт, площадь контура и магнитный поток через него меняются.

Данные в СИ: $m=100\ \text{г}=0{,}1$ кг, $R=0{,}5$ Ом (у каждого стержня), $l=15\ \text{см}=0{,}15$ м, $\mu=0{,}2$, $B=2$ Тл, $g=10\ \text{м/с}^2$.

Шаг 1 — ЭДС. Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости стержней ($v_1\gt v_2$). За время $\Delta t$ расстояние между стержнями увеличивается на $(v_1-v_2)\Delta t$, площадь контура — на $l(v_1-v_2)\Delta t$. Поле вертикально, поток $\Phi=BS$, и по закону Фарадея

$$\mathcal{E}=\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}=Bl(v_1-v_2)=Blv_{\text{отн}}.$$

Шаг 2 — ток. Сопротивление рельсов мало, поэтому ток проходит через оба стержня последовательно, полное сопротивление контура $2R$:

$$I=\dfrac{\mathcal{E}}{2R}=\dfrac{Blv_{\text{отн}}}{2R}.$$

Шаг 3 — второй стержень. Для первого стержня в уравнение вошла бы неизвестная сила $F$, поэтому смотрим на второй. Вдоль рельсов на него действуют только сила Ампера $F_A=IBl$ (ток перпендикулярен полю) и сила трения скольжения. Поле вертикальное, сила Ампера горизонтальная, к рельсам стержень прижимает только его вес, $N=mg$, и сила трения скольжения $F_{\text{тр}}=\mu mg$ — стержень скользит, поэтому трение именно такое, а не меньше. Движение равномерное, по второму закону Ньютона силы равны:

$$IBl=\mu mg\quad\Rightarrow\quad I=\dfrac{\mu mg}{Bl}=\dfrac{0{,}2\cdot0{,}1\cdot10}{2\cdot0{,}15}=\dfrac{0{,}2}{0{,}3}\approx0{,}67\ \text{А}.$$

Шаг 4 — относительная скорость. Приравниваем ток из шага 2 к току из шага 3:

$$\dfrac{Blv_{\text{отн}}}{2R}=\dfrac{\mu mg}{Bl}\quad\Rightarrow\quad v_{\text{отн}}=\dfrac{2\mu mgR}{B^2l^2}=\dfrac{2\cdot0{,}2\cdot0{,}1\cdot10\cdot0{,}5}{2^2\cdot0{,}15^2}=\dfrac{0{,}2}{0{,}09}=\dfrac{20}{9}\approx2{,}2\ \text{м/с}.$$

Направление проверим правилом Ленца: контур «не хочет» расширяться, поэтому сила Ампера тормозит первый стержень и тянет вперёд второй — как раз то, что нужно, чтобы второй стержень ехал.

Проверим себя энергией. Тепловая мощность в двух стержнях $I^2\cdot2R=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\cdot1\approx0{,}44$ Вт. Сила Ампера $0{,}2$ Н действует на стержни в разные стороны, и их совместная работа за секунду равна $F_A\cdot v_{\text{отн}}=0{,}2\cdot\dfrac{20}{9}\approx0{,}44$ Вт — то же число.

Почему модель законна. Стержни движутся поступательно, их можно считать материальными точками; поле однородное и вертикальное, поэтому сила Ампера горизонтальна и не меняет прижатия к рельсам; движение равномерное, ток постоянный, самоиндукцией по условию пренебрегаем; трение — сухое трение скольжения $\mu N$, от скорости не зависит.