Э/М Индукция — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048251

Что здесь происходит. Первый стержень тянут, второй едет сам — его тянет сила Ампера. Стержни едут в одну сторону, но с разными скоростями, поэтому расстояние между ними меняется, магнитный поток через контур «стержень — рельсы — стержень» меняется, и по контуру идёт индукционный ток. Этот ток и связывает стержни: на второй стержень поле действует силой, которая тащит его вперёд против трения.

Дано (в СИ): $m=50\ \text{г}=0{,}05$ кг, $R=0{,}3$ Ом у каждого стержня, $l=15\ \text{см}=0{,}15$ м, $\mu=0{,}15$, $B=1$ Тл, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $v_{\text{отн}}=v_1-v_2$.

Шаг 1 — ЭДС контура. Каждый стержень — сам по себе источник ЭДС: $Blv_1$ и $Blv_2$. Оба едут в одну сторону, сила Лоренца в обоих гонит свободные заряды к одному и тому же рельсу, поэтому при обходе контура ЭДС направлены навстречу друг другу и вычитаются:

$$\mathcal{E}=Blv_1-Blv_2=Bl\,v_{\text{отн}}.$$

(Тот же результат по закону Фарадея: площадь контура растёт на $l\,v_{\text{отн}}$ в секунду.)

Шаг 2 — ток. Рельсы без сопротивления, ток проходит через оба стержня последовательно: $I=\dfrac{\mathcal{E}}{2R}=\dfrac{Bl\,v_{\text{отн}}}{2R}$.

Шаг 3 — второй стержень. По стержням идёт один и тот же ток, но в противоположных направлениях, поэтому силы Ампера на стержни равны по модулю и противоположны: первый стержень поле тормозит, второй — тянет вперёд (правило Ленца: контур «сопротивляется» растяжению). На второй стержень вдоль рельсов действуют только сила Ампера $IBl$ и сила трения скольжения $\mu mg$ (поле вертикальное, сила Ампера горизонтальна и прижатия не меняет). Он едет равномерно:

$$IBl=\mu mg\quad\Rightarrow\quad I=\dfrac{\mu mg}{Bl}=\dfrac{0{,}15\cdot0{,}05\cdot10}{1\cdot0{,}15}=\dfrac{0{,}075}{0{,}15}=0{,}5\ \text{А}.$$

Шаг 4 — относительная скорость. Из шага 2: $v_{\text{отн}}=\dfrac{2RI}{Bl}$, то есть

$$v_{\text{отн}}=\dfrac{2\mu mgR}{B^2l^2}=\dfrac{2\cdot0{,}3\cdot0{,}5}{1\cdot0{,}15}=\dfrac{0{,}3}{0{,}15}=2\ \text{м/с}.$$

Обрати внимание: скорость самого второго стержня в ответ не вошла. Сила трения скольжения от скорости не зависит, поэтому второй стержень может ехать равномерно с любой скоростью — важна только разность скоростей, которая задаёт ток.

Проверим себя. Если бы стержни ехали с одинаковой скоростью, площадь контура не менялась бы, тока и силы Ампера не было бы — и трение остановило бы второй стержень; значит, первый обязан обгонять второй, $v_{\text{отн}}\gt0$, что и получилось. Энергией: тепловая мощность в стержнях $I^2\cdot2R=0{,}25\cdot0{,}6=0{,}15$ Вт; силы Ампера $0{,}075$ Н действуют на стержни в разные стороны, их суммарная мощность $0{,}075\cdot v_{\text{отн}}=0{,}075\cdot2=0{,}15$ Вт — сходится.

Почему модель законна. Стержни движутся поступательно — материальные точки; поле однородное и вертикальное; движение равномерное, ток постоянный, самоиндукцией по условию пренебрегаем; трение — сухое трение скольжения $\mu mg$.