Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048417

Что здесь происходит. Газ под тяжёлым поршнем нагревают так, чтобы его молекулы стали двигаться на 40 % быстрее. Газ при нагреве расширяется и поднимает поршень, а давление остаётся тем же — его держат атмосфера и вес поршня. Нужно найти, сколько теплоты на это уйдёт.

Дано: $S=0{,}5$ м², $m=1$ т $=1000$ кг, $V_1=1$ м³, $p_{\text{а}}=98{,}4$ кПа $=98\,400$ Па, $\dfrac{v_2}{v_1}=1{,}4$, $g=10$ м/с², газ одноатомный. Найти: $Q$.

Шаг 1 — давление газа. Поршень покоится, на него сверху давят атмосфера и вес, снизу — газ:

$$p=p_{\text{а}}+\dfrac{mg}{S}=98\,400+\dfrac{1000\cdot10}{0{,}5}=98\,400+20\,000=118\,400\ \text{Па}.$$

Шаг 2 — почему давление постоянно. Поршень свободно скользит без трения и поднимается медленно, атмосферное давление не меняется, масса поршня та же. Поэтому в каждый момент газ давит на поршень с тем же давлением $118{,}4$ кПа — нагрев изобарный.

Шаг 3 — во сколько раз выросла температура. Средняя кинетическая энергия молекулы пропорциональна квадрату скорости и одновременно абсолютной температуре: $\dfrac{m_0v^2}{2}=\dfrac{3}{2}kT$. Скорость выросла в $1{,}4$ раза — температура выросла в $1{,}4^2=1{,}96$ раза.

Шаг 4 — начальная энергия без $\nu$ и $T$. По уравнению Менделеева — Клапейрона $\nu RT_1=pV_1=118\,400\cdot1=118\,400$ Дж. Количество вещества и температура по отдельности не нужны.

Шаг 5 — теплота на изобаре. По первому закону $Q=\Delta U+A$. Внутренняя энергия $\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T$, работа при постоянном давлении $A=p\Delta V=\nu R\Delta T$. Значит,

$$Q=\dfrac{5}{2}\nu R\,(T_2-T_1)=\dfrac{5}{2}\nu RT_1\,(1{,}96-1)=\dfrac{5}{2}\cdot118\,400\cdot0{,}96=284\,160\ \text{Дж}\approx284\ \text{кДж}.$$

Из них на работу газа ушло $A=\nu R\Delta T=118\,400\cdot0{,}96\approx113{,}7$ кДж, на рост внутренней энергии — $\dfrac{3}{2}\cdot113{,}7\approx170{,}5$ кДж.

Проверим себя сравнением. Если бы поршень закрепили (изохорный нагрев до той же температуры), понадобилось бы только $\Delta U\approx170{,}5$ кДж — в $\dfrac{5}{3}$ раза меньше: $284{,}16:170{,}5\approx1{,}67$. При свободном поршне теплоты нужно больше, потому что газ ещё и совершает работу.

Почему модель законна. Газ идеальный одноатомный, масса постоянна. Поршень движется медленно, без трения и без заметной кинетической энергии — работа газа идёт на подъём поршня и на вытеснение атмосферы, а давление газа всё время постоянно. Средняя квадратичная скорость молекул зависит только от температуры.