Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048312

Что здесь происходит. Аргон расширяется по особому закону: давление падает быстрее, чем при изотерме, — обратно пропорционально квадрату объёма. Газ при этом охлаждается, и его внутренняя энергия уменьшается на $6$ кДж. Сколько газа в цилиндре, не сказано — это и надо найти. Внутренняя энергия зависит от количества вещества и температуры, поэтому сначала найдём, как изменилась температура.

Дано: $T_1=400$ К, $p_1=2\cdot10^5$ Па, $p_2=5\cdot10^4$ Па, $pV^2=\text{const}$, $\Delta U=-6$ кДж $=-6000$ Дж. Найти: $\nu$.

Шаг 1 — во сколько раз вырос объём. Из $p_1V_1^2=p_2V_2^2$:

$$\dfrac{V_2}{V_1}=\sqrt{\dfrac{p_1}{p_2}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot10^5}{5\cdot10^4}}=\sqrt{4}=2.$$

Шаг 2 — во сколько раз упала температура. Для постоянного количества газа по уравнению Менделеева — Клапейрона температура пропорциональна произведению $pV$:

$$\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{p_1V_1}=\dfrac{1}{4}\cdot2=\dfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad T_2=200\ \text{К}.$$

Шаг 3 — изменение внутренней энергии. Аргон — одноатомный газ, $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$. «Уменьшилась на $6$ кДж» — это изменение, а не конечное значение энергии, и оно отрицательно, как и должно быть при охлаждении:

$$\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\,(T_2-T_1)=-6000\ \text{Дж}.$$

Шаг 4 — количество вещества. Неизвестное $\nu$ стоит множителем только в формуле энергии (в законе процесса и в отношениях оно сократилось):

$$\nu=\dfrac{2|\Delta U|}{3R\,(T_1-T_2)}=\dfrac{2\cdot6000}{3\cdot8{,}31\cdot200}=\dfrac{12\,000}{4986}\approx2{,}4\ \text{моль}.$$

Проверим себя. Конечную температуру можно получить и иначе: подставим $p=\dfrac{\nu RT}{V}$ в $pV^2=\text{const}$ — получится $TV=\text{const}$, то есть при росте объёма вдвое температура падает вдвое — те же $200$ К. И правдоподобие: начальный объём газа $V_1=\dfrac{\nu RT_1}{p_1}=\dfrac{2{,}4\cdot8{,}31\cdot400}{2\cdot10^5}\approx0{,}04$ м³ $=40$ л — нормальный объём цилиндра.

Почему модель законна. Аргон — одноатомный идеальный газ, его количество в цилиндре постоянно. Процесс равновесный, поэтому в каждый момент выполняется уравнение состояния, и его можно соединить с законом $pV^2=\text{const}$. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры.