Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048315

Что здесь происходит. В одном сосуде гелий, в другом — аргон, температуры разные. Открываем кран — газы перетекают и перемешиваются, обмениваются энергией, и в конце во всём объёме устанавливаются одна температура и одно давление. Давление одинаково в обоих сосудах — его и нужно найти. Для этого понадобится общая температура смеси.

Дано: $V=1{,}6$ м³ (каждый сосуд), $\nu_1=1$ моль гелия, $T_1=360$ К, $\nu_2=2$ моль аргона, $T_2=312$ К. Найти: $p$.

Шаг 1 — что сохраняется. Сосуды теплоизолированы — теплота наружу не уходит. Стенки сосудов неподвижны, внешних тел, над которыми газ мог бы совершить работу, нет. По первому закону термодинамики суммарная внутренняя энергия газов не меняется: сколько энергии гелий отдаст, столько аргон получит.

Шаг 2 — энергия одноатомных газов. И гелий, и аргон — инертные одноатомные газы, у обоих внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$. Масса атома (у аргона она в $10$ раз больше) сюда не входит: при одной температуре на каждый моль приходится одна и та же энергия. Энергии до смешивания пропорциональны произведениям $\nu T$: у гелия $1\cdot360=360$, у аргона $2\cdot312=624$ — аргон, хоть и холоднее, несёт больше энергии.

Шаг 3 — общая температура:

$$\dfrac{3}{2}\nu_1RT_1+\dfrac{3}{2}\nu_2RT_2=\dfrac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT\quad\Rightarrow\quad T=\dfrac{\nu_1T_1+\nu_2T_2}{\nu_1+\nu_2}=\dfrac{360+624}{3}=\dfrac{984}{3}=328\ \text{К}.$$

Шаг 4 — уравнение состояния для смеси. Газы разреженные, давления складываются (закон Дальтона), поэтому для всей смеси пишем уравнение Менделеева — Клапейрона с суммарным количеством вещества. Смесь занимает оба сосуда, то есть объём $2V$ (трубкой пренебрегаем):

$$p\cdot2V=(\nu_1+\nu_2)RT\quad\Rightarrow\quad p=\dfrac{(\nu_1+\nu_2)RT}{2V}=\dfrac{3\cdot8{,}31\cdot328}{2\cdot1{,}6}=\dfrac{8177}{3{,}2}\approx2555\ \text{Па}\approx2{,}6\ \text{кПа}.$$

Давление одинаково в обоих сосудах, поэтому это и есть давление в одном сосуде. В общем виде $p=\dfrac{(\nu_1T_1+\nu_2T_2)R}{2V}$.

Проверим себя другим способом — через парциальные давления. Каждый газ в конце занимает оба сосуда при $328$ К. Гелий: $p_1=\dfrac{1\cdot8{,}31\cdot328}{3{,}2}\approx852$ Па, аргон: $p_2=\dfrac{2\cdot8{,}31\cdot328}{3{,}2}\approx1704$ Па. Сумма $852+1704=2556$ Па — то же самое.

Почему модель законна. Оба газа идеальные одноатомные и химически не реагируют. Система теплоизолирована и не совершает работы над внешними телами, поэтому её внутренняя энергия сохраняется. Конечное состояние равновесное: температура и давление одинаковы во всём объёме.