Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048314

Что здесь происходит. Гелий сначала сжимают при постоянном давлении — внешние силы совершают над ним работу $A_1$, и газ остывает втрое. Потом газ сам расширяется без теплообмена, совершает работу $450$ Дж и остывает ещё. Известна работа во втором процессе, а найти нужно работу в первом. Обе работы выражаются через температуры, и общий «масштаб» $\nu RT_1$ перенесёт данные из одного процесса в другой.

Дано: гелий (одноатомный), $\nu=2$ моль, $T_2=\dfrac{T_1}{3}$, $T_3=\dfrac{T_1}{6}$, $A_2=450$ Дж. Найти: $A_1$ — работу внешних сил при изобарном сжатии.

Шаг 1 — работа на адиабате. Теплообмена нет, $Q=0$, поэтому по первому закону термодинамики работа газа равна убыли его внутренней энергии. Для одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$. На адиабате температура меняется от $T_2$ до $T_3$ — не от $T_1$:

$$A_2=\dfrac{3}{2}\nu R\,(T_2-T_3)=\dfrac{3}{2}\nu R\left(\dfrac{T_1}{3}-\dfrac{T_1}{6}\right)=\dfrac{3}{2}\nu R\cdot\dfrac{T_1}{6}=\dfrac{\nu RT_1}{4}.$$

Шаг 2 — масштаб. Отсюда $\nu RT_1=4A_2=4\cdot450=1800$ Дж.

Шаг 3 — работа на изобаре. При постоянном давлении работа газа $p\,(V_2-V_1)=\nu R\,(T_2-T_1)$ — она отрицательна, ведь газ сжимают. Работа внешних сил равна ей по модулю и противоположна по знаку:

$$A_1=\nu R\,(T_1-T_2)=\nu R\left(T_1-\dfrac{T_1}{3}\right)=\dfrac{2}{3}\,\nu RT_1.$$

Шаг 4 — считаем:

$$A_1=\dfrac{2}{3}\cdot1800=1200\ \text{Дж}.$$

В общем виде $A_1=\dfrac{2}{3}\cdot4A_2=\dfrac{8}{3}A_2$.

Проверим себя обратным расчётом. Из $A_1=1200$ Дж: $\nu RT_1=\dfrac{3}{2}\cdot1200=1800$ Дж, тогда работа на адиабате $\dfrac{1800}{4}=450$ Дж — как в условии. И правдоподобие: $T_1=\dfrac{1800}{\nu R}=\dfrac{1800}{2\cdot8{,}31}\approx108$ К — холодно, но для гелия это обычный газ (он сжижается лишь около $4$ К).

Почему модель законна. Гелий — одноатомный идеальный газ, количество вещества по условию не меняется, поэтому в обоих процессах стоит одно и то же $\nu R$. На изобаре давление постоянно и одинаково во всём газе; на адиабате теплообмена нет, поэтому работа газа равна убыли внутренней энергии.