Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048416

Что здесь происходит. Пробка держится в горлышке за счёт трения. Первый опыт (бутылка лежит, гелий не греют, пробку тянут рукой) позволяет узнать силу трения. Во втором опыте бутылку ставят горлышком вверх и греют гелий: давление растёт, и пробку выталкивает. Нужно найти наименьшую теплоту, при которой это произойдёт.

Дано: $V=2$ л $=2\cdot10^{-3}$ м³, $S=2{,}5\ \text{см}^2=2{,}5\cdot10^{-4}$ м², $m=30$ г $=0{,}03$ кг, $F=2$ Н, $g=10$ м/с². Найти: $Q_{\min}$.

Шаг 1 — сила трения из первого опыта. Бутылка лежит, гелий не нагрет — его давление равно атмосферному, и силы давления изнутри и снаружи на пробку уравновешены. Сила тяжести пробки направлена поперёк горлышка и вдоль него не тянет. Значит, рука преодолевает только трение покоя, и наименьшая сила, при которой пробка начинает выходить, равна наибольшей силе трения покоя: $F_{\text{тр}}=F=2$ Н.

Шаг 2 — силы на пробку в стоящей бутылке. Снизу гелий давит с силой $(p_0+\Delta p)S$, сверху атмосфера — с силой $p_0S$. Вниз тянет сила тяжести $mg$. Пробка «стремится» вверх, поэтому трение направлено вниз. В момент, когда пробка трогается, трение достигает наибольшего значения, и силы уравновешены (второй закон Ньютона при нулевом ускорении):

$$(p_0+\Delta p)S=p_0S+mg+F_{\text{тр}}\quad\Rightarrow\quad\Delta p=\dfrac{F+mg}{S}=\dfrac{2+0{,}03\cdot10}{2{,}5\cdot10^{-4}}=\dfrac{2{,}3}{2{,}5\cdot10^{-4}}=9200\ \text{Па}.$$

Здесь $\Delta p$ — на сколько давление гелия должно превысить атмосферное.

Шаг 3 — теплота. Пока пробка на месте, объём гелия постоянен, газ работы не совершает, и по первому закону термодинамики вся теплота идёт на рост внутренней энергии: $Q=\Delta U$. Гелий одноатомный, $U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV$, поэтому при постоянном объёме

$$Q_{\min}=\dfrac{3}{2}V\Delta p=\dfrac{3V(F+mg)}{2S}=\dfrac{3}{2}\cdot2\cdot10^{-3}\cdot9200=27{,}6\ \text{Дж}.$$

Проверим себя сравнением. Если бы гелий грели в лежащей бутылке, вес пробки не мешал бы, превышение давления понадобилось бы только $\dfrac{F}{S}=8000$ Па, а теплоты — $\dfrac{3}{2}\cdot2\cdot10^{-3}\cdot8000=24$ Дж, меньше нашего ответа, как и должно быть. Вклад веса пробки: $0{,}3$ Н из $2{,}3$ Н, около 13 % — им пренебрегать нельзя.

Почему модель законна. Гелий — идеальный одноатомный газ постоянной массы; пока пробка не сдвинулась, его объём постоянен (пробка короткая), теплоту получает только гелий. Пробку считаем материальной точкой в равновесии; в момент начала движения сила трения покоя равна своему наибольшему значению, одинаковому в обоих опытах по условию.