Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048313

Что здесь происходит. Газ проходит два процесса подряд. Сначала его сжимают при постоянном давлении, и он остывает в $k=7$ раз. Потом он расширяется без теплообмена (адиабатно) и остывает ещё вдвое. Нужно сравнить, какую работу газ совершил в каждом процессе — по модулю. Чисел почти нет, поэтому всё выразим через температуры.

Дано: газ одноатомный, $\nu=\text{const}$, $T_1=kT_2$, $k=7$, $T_3=\dfrac{T_2}{2}$. Найти: $n=\dfrac{|A_{12}|}{|A_{23}|}$.

Шаг 1 — работа на изобаре. При постоянном давлении работа газа $A_{12}=p\,(V_2-V_1)$. По уравнению Менделеева — Клапейрона $pV=\nu RT$, поэтому $pV_2-pV_1=\nu R\,(T_2-T_1)$:

$$|A_{12}|=\nu R\,(T_1-T_2).$$

Газ сжимали, поэтому его собственная работа отрицательна, а по модулю она равна работе внешних сил.

Шаг 2 — работа на адиабате. Теплообмена нет, $Q=0$, и по первому закону термодинамики $0=\Delta U+A_{23}$: газ совершает работу только за счёт своей внутренней энергии. Для одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$:

$$A_{23}=-\Delta U_{23}=\dfrac{3}{2}\nu R\,(T_2-T_3).$$

Газ расширяется и остывает, работа положительна.

Шаг 3 — всё через $T_2$. Температура $T_2$ общая для обоих процессов, удобно взять её за единицу: $T_1=kT_2=7T_2$, $T_3=\dfrac{T_2}{2}$. Тогда

$$|A_{12}|=\nu R\,(7T_2-T_2)=6\,\nu RT_2,\qquad A_{23}=\dfrac{3}{2}\nu R\left(T_2-\dfrac{T_2}{2}\right)=\dfrac{3}{4}\,\nu RT_2.$$

Шаг 4 — отношение. Произведение $\nu RT_2$ сокращается — поэтому ни масса газа, ни давление, ни объёмы не нужны:

$$n=\dfrac{6\,\nu RT_2}{\tfrac{3}{4}\,\nu RT_2}=\dfrac{4(k-1)}{3}=\dfrac{4\cdot6}{3}=8.$$

Проверим себя. Если бы изобарного сжатия не было ($k=1$), работа на изобаре была бы нулевой, и формула $n=\dfrac{4(k-1)}{3}$ действительно даёт $0$. И почему работа на изобаре вышла больше, хотя каждый кельвин адиабатного остывания «даёт» в $\dfrac{3}{2}$ раза больше работы: на изобаре температура изменилась на $6T_2$, а на адиабате — всего на $\dfrac{T_2}{2}$, в $12$ раз меньше; $12:\dfrac{3}{2}=8$.

Почему модель законна. Газ идеальный, одноатомный, его масса постоянна — поэтому в обоих процессах стоит одно и то же $\nu R$. Процессы равновесные: на изобаре давление одно во всём газе, на адиабате нет теплообмена, поэтому работа газа равна убыли его внутренней энергии.