Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048316

Что здесь происходит. Газ заперт под тяжёлым поршнем. Его нагревают — молекулы начинают двигаться быстрее, газ расширяется и приподнимает поршень. Давление газа при этом не меняется: его по-прежнему задают атмосфера и вес поршня. Известно, сколько теплоты потратили и насколько выросла скорость молекул; найти нужно начальный объём газа.

Дано: $S=0{,}5$ м², $m=0{,}5$ т $=500$ кг, $p_{\text{а}}=98{,}4$ кПа $=98\,400$ Па, $\dfrac{v_2}{v_1}=1{,}6$, $Q=300$ кДж $=3\cdot10^5$ Дж, $g=10$ м/с², газ одноатомный. Найти: $V_1$.

Шаг 1 — давление газа. Поршень покоится: сверху на него давят атмосфера ($p_{\text{а}}S$) и сила тяжести ($mg$), снизу — газ ($pS$). По второму закону Ньютона при нулевом ускорении

$$p=p_{\text{а}}+\dfrac{mg}{S}=98\,400+\dfrac{500\cdot10}{0{,}5}=98\,400+10\,000=108\,400\ \text{Па}.$$

Поршень движется медленно и без трения, атмосферное давление постоянно — значит, давление газа всё время $108{,}4$ кПа: процесс изобарный.

Шаг 2 — во сколько раз выросла температура. Средняя квадратичная скорость молекул $v=\sqrt{\dfrac{3RT}{\mu}}$ пропорциональна корню из температуры. Скорость выросла на 60 %, то есть в $1{,}6$ раза, а температура — в $1{,}6^2=2{,}56$ раза (а не в $1{,}6$).

Шаг 3 — во сколько раз вырос объём. При постоянном давлении объём пропорционален температуре (закон Гей-Люссака): $V_2=2{,}56\,V_1$, прирост объёма $\Delta V=1{,}56\,V_1$.

Шаг 4 — теплота на изобаре. По первому закону термодинамики $Q=\Delta U+A$. Работа газа $A=p\Delta V$. Внутренняя энергия одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV$, поэтому при постоянном давлении $\Delta U=\dfrac{3}{2}p\Delta V$. Итого

$$Q=\dfrac{3}{2}p\Delta V+p\Delta V=\dfrac{5}{2}p\Delta V=\dfrac{5}{2}p\cdot1{,}56\,V_1.$$

Шаг 5 — начальный объём:

$$V_1=\dfrac{2Q}{5p\cdot1{,}56}=\dfrac{2\cdot3\cdot10^5}{5\cdot108\,400\cdot1{,}56}=\dfrac{6\cdot10^5}{845\,520}\approx0{,}71\ \text{м}^3.$$

В общем виде $V_1=\dfrac{2QS}{5(p_{\text{а}}S+mg)\left((1+\sigma)^2-1\right)}$, где $\sigma=0{,}6$ — доля прироста скорости.

Проверим себя размерностью: $\dfrac{\text{Дж}}{\text{Па}}=\dfrac{\text{Н}\cdot\text{м}}{\text{Н}/\text{м}^2}=\text{м}^3$. И энергобаланс: при $V_1=0{,}71$ м³ работа газа $p\Delta V=108\,400\cdot1{,}56\cdot0{,}71\approx120$ кДж, рост энергии $\dfrac{3}{2}\cdot120=180$ кДж, в сумме $300$ кДж. Вклад поршня в давление ($10$ кПа из $108{,}4$) — около 9 %, им нельзя пренебречь: без него ответ вырос бы до $\approx0{,}78$ м³.

Почему модель законна. Газ одноатомный идеальный, его масса постоянна. Поршень движется медленно и без трения, атмосферное давление постоянно — процесс изобарный и равновесный, поэтому работа газа равна $p\Delta V$. Средняя квадратичная скорость определяется только температурой газа.