Кинематика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00048411

Что здесь происходит. Это механический «осциллограф». Звук раскачивает мембрану, а с ней — лёгкое зеркальце З, поэтому отражённый луч качается вверх-вниз с частотой звука $\nu$. Дальше луч попадает на вращающийся зеркальный барабан, и тот гонит световое пятно («зайчик») по экрану вбок. Пятно одновременно качается вверх-вниз и бежит вбок — так на экране и рисуется синусоида.

Как работает барабан. Пока луч падает на одну грань, она поворачивается, и отражённый луч равномерно пробегает экран от одного края до другого. Как только луч переходит на следующую грань, пятно скачком возвращается в начало, и пробег повторяется. Значит, каждая грань рисует на экране одну «строку» картинки. Отражённый луч поворачивается вдвое быстрее грани: при повороте зеркала на угол $\varphi$ отражённый луч поворачивается на $2\varphi$. Но это меняет только размах пробега по экрану, а не его продолжительность: пробег длится ровно столько, сколько грань находится под лучом.

Обоснование модели. Барабан вращается равномерно, поэтому пятно бежит по экрану с постоянной скоростью — горизонтальная ось картинки служит равномерной шкалой времени, и колебания не растягиваются и не сжимаются. Зеркальце лёгкое, поэтому оно поворачивается вслед за мембраной без запаздывания, с частотой звука $\nu$. Время, за которое свет доходит до экрана, ничтожно мало по сравнению с периодом звука. Экран ловит весь пробег пятна от одной грани: только при этом в задаче достаточно данных — размеров экрана и расстояний в условии нет, а число граней дано. Система отсчёта, связанная с Землёй, инерциальная; вращение барабана описываем угловой скоростью $\omega=\dfrac{2\pi}{T_{\text{об}}}$.

Шаг 1 — когда картинка неподвижна. Пробеги идут один за другим очень часто, и глаз видит их наложенными. Картинка стоит на месте, если каждая грань рисует одну и ту же кривую, то есть каждый пробег начинается в одной и той же фазе колебаний. На экране два периода синусоиды — значит, за время работы одной грани $\tau$ мембрана совершает ровно два колебания:

$$\tau=2T_{\text{зв}}=\dfrac{2}{\nu}.$$

Шаг 2 — время оборота. Граней $12$, каждая работает время $\tau$, поэтому один оборот барабана длится

$$T_{\text{об}}=12\tau=\dfrac{24}{\nu}=\dfrac{24}{440}\ \text{с}\approx0{,}0545\ \text{с}.$$

Шаг 3 — угловая скорость. За один оборот барабан поворачивается на $2\pi$ радиан:

$$\omega=\dfrac{2\pi}{T_{\text{об}}}=\dfrac{2\pi\nu}{24}=\dfrac{\pi\nu}{12}=\dfrac{3{,}14\cdot440}{12}\approx115\ \text{рад/с}.$$

Проверим себя. При $\omega\approx115$ рад/с барабан делает $\dfrac{115}{2\pi}\approx18{,}3$ оборота в секунду, мимо луча проходит $12\cdot18{,}3=220$ граней в секунду, и каждая рисует два периода: $220\cdot2=440$ периодов в секунду — ровно частота звука. Если вращать барабан вдвое медленнее, картинка тоже будет неподвижной, но на ней окажется уже четыре периода, — поэтому именно «два периода» задают ответ однозначно.